---
# System prepended metadata

title: Задача 4
tags: ['Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения', Том-1, Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости]

---

# Задача 4
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Даны точки $A(2, -1)$, $B(-1, 3)$, $C(4, 7)$, $D(-1, -5)$. Найти проекцию вектора $\overline{AB}$ на направление вектора $\overline{CD}$.

## Решение
Определим компоненты векторов $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$:

$$
    \overline{AB} = \overline{r_B} - \overline{r_A} = (-1, 3) - (2, -1) = (-3, 4)\\
    \overline{CD} = \overline{r_D} - \overline{r_C} = (-1, -5) - (4, 7) = (-5, -12)
$$

Из определения проекции вектора на вектор:
$$
    \pi_{\overline{CD}}(\overline{AB}) = |\overline{AB}| \cdot \cos(\overline{AB}, \overline{CD})
$$

Выражая косинус с использованием геометрического определения скалярного произведения получим:

$$
\pi_{\overline{CD}}(\overline{AB}) = |\overline{AB}| \cdot \frac{\overline{AB}\cdot\overline{CD}}{|\overline{AB}|\cdot|\overline{CD}|}
= \frac{\overline{AB}\cdot\overline{CD}}{|\overline{CD}|}
= \frac{(-3) \cdot (-5) + 4\cdot(-12)}{\sqrt{(-5) ^ 2 + (-12)^2}}
= -\frac{33}{13}
$$

## Ответ
$-\frac{33}{13}$