# Задача 9
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

##
Отрезок $AB$ разделен на три равный части точками $M_1(1, 2)$ и $M_2(3, 4)$. Найти точки $A$ и $B$.

## Решение
Обозначим радиус-векторы точек $M_1$ и $M_2$ как $\overline{r_1}$ и $\overline{r_2}$ соответственно.

Поскольку отрезок поделен на равные части, то $AM_1 = M_1M_2 = M_2B$.
При рассмотрении соответствующих векторов окажется, что $\overline{AM_1} = \overline{M_1M_2}$ и $\overline{M_2B} = \overline{M_1M_2}$.

Тогда, радиус-вектор точки $A$ можно найти как:
$$
\overline{r_A}
= \overline{r_1} - \overline{AM_1}
= \overline{r_1} - \overline{M_1M_2}
= \overline{r_1} - \big[\overline{r_2} - \overline{r_1}\big]
= 2\overline{r_1} - \overline{r_2}\\
= 2(1, 2) - (3, 4) = (-1, 0)
$$

Аналогично, для точки $B$:
$$
\overline{r_B}
= \overline{r_2} + \overline{M_2B}
= \overline{r_2} + \overline{M_1M_2}
= \overline{r_2} + \big[\overline{r_2} - \overline{r_1}\big]
= 2\overline{r_2} - \overline{r_1}\\
= 2(3, 4) - (1, 2) = (5, 6)
$$

## Ответ
$A(-1, 0)$, $B(5, 6)$