---
# System prepended metadata

title: Задача 2
tags: ['Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения', Том-1, Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости]

---

# Задача 2
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Даны точки $A(1, 2)$ и $B(5, -1)$. Найти углы вектора $\overline{AB}$ с осями $Ox$ и $Oy$, а также длину этого вектора

## Решение
Аналогично [задаче 1](https://hackmd.io/@gunter-kuzmin-solutions/HJ3kE_jWq) определим компоненты $\overline{AB}$:

$$
\overline{AB} = \overline{r_B} - \overline{r_A} = (5, -1) - (1, 2) = (4, -3)
$$

По теореме Пифагора длина этого вектора находится как:

$$
    |\overline{AB}| = \sqrt{4^ 2 + (-3) ^2} = 5
$$

Найдем угол между вектором $\overline{AB}$ и осями координат используя определение синуса угла прямоугольного треугольника:

$$
    \sin\alpha = \frac{a}{c}
$$

где $a$ - длина катета, противолежащий углу $\alpha$, а $c$ - длина гиппотенузы.

В нашем случае, пусть $\alpha$ - угол между $\overline{AB}$ и $Ox$. Тогда:

$$
    \sin\alpha = \frac{-3}{5}
$$

Аналогично, для угла $\beta$ (угол между $\overline{AB}$ и $Oy$) $\sin\beta = \frac{4}{5}$.

**Примечание:** для нахождения углов с осями координат можно также воспользоваться следствием из геометрического определения скалярного произведения векторов:

$$
    \cos(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{|a| \cdot |b|}
$$

где $\cos(a, b)$ - угол между векторами $a$ и $b$. В нашем случае, нас будут интересовать $\cos(\overline{AB}, \mathbf{i})$ и $\cos(\overline{AB}, \mathbf{j})$, где $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ - векторы единичной длины на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

## Ответ

Длина вектора равна $5$, углы с осями координат составляют $\arcsin(-0.6)$ и $\arcsin{0.8}$ соответственно.
