# Задача 11
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Середины сторон треугольника - в точках $M_1(-2, 1)$, $M_2(2, 3)$, $M_3(4, -1)$. Найдите координаты вершин.

## Решение
Пусть точки $A$, $B$, $C$ - вершины данного треугольника с координатами $(a_1, a_2)$, $(b_1, b_2)$ и $(c_1, c_2)$ соответственно. Причем эти точки расположены так, что $M_1$ - середина отрезка $AB$, $M_2$ - середина отрезка $BC$, $M_3$ - середина отрезка $AC$.

Известно, что координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов.

*Примечание:* доказательство этого утверждения можно найти в [задаче 7](https://hackmd.io/65XRmZ86TomUqnsqFZqAIA).

Тогда, мы можем записать систему из 6 уравнений (для каждой из трех середин у нас есть две координаты):

$$
\begin{cases}
-4 = a_1 + b_1 \\
2 = a_2 + b_2 \\
4 = b_1 + c_1 \\
6 = b_2 + c_2 \\
8 = a_1 + c_1 \\
-2 = a_2 + c_2 \\
\end{cases}
$$

Сложим почленно уравнения, содержащие первые компоненты вершин:
$$
8 = 2(a_1 + b_1 + c_1)\\
a_1 + b_1 + c_1 = 4
$$

Вычитая из этого уравнения поочередно все уравнения для первых компонент из изначальной системы получим:
$$
\begin{cases}
a_1 = 0\\
b_1 = -4\\
c_1 = 8
\end{cases}
$$

Аналогично, для вторых компонент получим:
$$
a_2 + b_2 + c_2 = 3
$$

Осуществив вычитание уравнений для вторых компонент получим:
$$
\begin{cases}
a_2 = -3\\
b_2 = 5\\
c_2 = 1
\end{cases}
$$

Значит, вершины треугольника имеют координаты $(0, -3)$, $(-4, 5)$, $(8, 1)$.

## Ответ
$(0, -3)$, $(-4, 5)$, $(8, 1)$.