# Задача 6
###### tags: `Том-1` `Отдел 1. Аналитическая геометрия на плоскости` `Параграф 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие приложения`

## Условие
Из начала координат проведены векторы в точки $A(1, 2)$, $B(-2, 3)$, $C(6,-10)$. Найти их геометрическую сумму по величине и направлению.
## Решение
Найдем сумму радиус-векторов точек $A$, $B$, $C$:
$$
\overline{r} = \overline{r_A} + \overline{r_B} + \overline{r_C} = (1, 2) + (-2, 3) + (6, -10)
= (5, -5)
$$

Тогда величину вектора $\overline{r}$ можно найти используя теорему Пифагора:

$$
|\overline{r}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = 5\sqrt2
$$

Направление вектора $\overline{r}$ определим используя геометрическое определении скалярного произведения векторов. В качестве второго вектора рассмотрим единичный вектор $\overline i$ оси $Ox$.

$$
\cos(\overline{r}, \overline{i}) = \frac{\overline{r} \cdot \overline{i}}{|\overline{r}|}
= \frac{5 \cdot 1 + (-5) \cdot 0}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Значит, вектор $\overline{r}$ составляет угол $45^\circ$ с осью абсцисс. Этот угол может быть как положительным, так и отрицательным. Однако, поскольку абсцисса вектора $\overline{r}$ отрицательна, то он пренадлежит четвертой координатной четверти, а следовательно составляет с осью абсцисс угол $-45^\circ$.

## Ответ
$5\sqrt2$, $-45^\circ$