# Algunas soluciones del taller 5
## Puntos solucionados:
1. solucionado
2. solucionado
3. solucionado
4. solucionado
5. solucionado
6. solucionado
7. solucionado
8. solucionado
9. solucionado
10. solucionado
11. solucionado
12. está mal eso :v
13. solucionado
14. - aún no se puede hacer.
- solucionado
15. falta escribirlo acá
16. solucionado
17. solucionado
18. solucionado
19. solucionado
20. solucionado
21. solucionado
22. no estoy seguro de que sea homomorfismo u.u
23. -
24. solucionado
25. está la idea no más :v
## 1. Sean $\sigma=(123)(456)(78)$ y $\tau=(1357)(26)$ permutaciones en $S_8$. Determine las siguientes permutaciones como producto de ciclos disyuntos $\sigma\tau, \tau\sigma,\sigma^2,\tau^{-1},\sigma^{-1}$.
:::spoiler *Solución:*
- $\sigma\tau=(123)(456)(78)(1357)(26)=(63)(24587)$.
- $\tau\sigma=(1357)(26)(123)(456)(78)=(81647)(25)$.
- $\sigma^2=(123)(456)(78)(123)(456)(78)=(132)(465)$.
- $\tau^{-1}=[(1357)(26)]^{-1}=(62)(7531)$.
- $\sigma^{-1}=[(123)(456)(78)]^{-1}=(87)(654)(321)$
:::

## 2. Muestre que existen solo tres elementos en $S_4$ que se escriben como producto de dos ciclos disyuntos, cada uno de longitud 2.
:::spoiler *Solución:*
El ejercicio consiste en distribuir 4 elementos $a,b,c,d$ de un conjunto cualquiera tal que todo elemento no pertenezca a más de un ciclo por permutación (pues deben ser disyuntas) y además, deben pertenecer a al menos un ciclo (de otro modo los $2$ ciclos tendrían 3 elementos y no serían disyuntos). Así, en realidad solo existen 3 permutaciones:
- $(a,b)(c,d)$
- $(a,c)(b,d)$
- $(a,d)(b,c)$
Cualquier otra permutación que se pueda expresar en dos ciclos disyuntos es en realidad una reorganización de esos 3.
:::

## 3. Encuentre todas las permutaciones de $S_4$ de orden 2.
:::spoiler *Solución:*
Sabemos que todos los $2$-ciclos son sus propios inversos, luego tienen orden 2, por tanto tenemos un listado inicial de $2C4$ permutaciones
- $(a,b)$
- $(a,c)$
- $(a,d)$
- $(b,c)$
- $(b,d)$
- $(c,d)$
Además, sabemos que los ciclos disyuntos conmutan, luego tenemos que el producto de todas las permutaciones de $2$-ciclos disyuntos también tienen orden 2:
- $(a,b)(c,d)$
- $(a,c)(b,d)$
- $(a,d)(b,c)$
:::

## 4. Escribir los siguientes elementos de $S_8$ como producto de transposiciones, y encuentre el signo decada uno: $\alpha = (1357)(2468)$, $\beta = (127)(356)(48)$, $\gamma = (135)(678)(2)(4)$.
:::spoiler *Solución:*
- $\alpha=(1357)(2468)=(17)(15)(13)(28)(26)(24)\therefore\text{sgn}(\alpha)=1$.
- $\beta=(127)(356)(48)=(17)(12)(36)(35)(48)\therefore\text{sgn}(\beta)=-1$.
- $\gamma = (135)(678)(2)(4)=(15)(13)(68)(67)\therefore\text{sgn}(\gamma)=1$
:::

## 5. Probar que $\text{sgn}(\pi\sigma\pi^{-1}) = \text{sgn}(\sigma)$, $\forall\pi,\sigma\in S_n$.

:::spoiler *Solución:*
Sabemos que $\text{sgn}$ es un homomorfismo hacia $\mathbb{Z}^*$ que son conmutativos con respecto al producto, luego se tiene que
\begin{align*}\text{sgn}(\pi\sigma\pi^{-1})=&\text{sgn}(\pi)\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\pi)^{-1}\\=&\text{sgn}(\pi)\text{sgn}(\pi)^{-1}\text{sgn}(\sigma)\\=&\text{sgn}(\sigma)\end{align*}
:::
## 6. Sean $\alpha = (15)(27436)$, $\beta = (1372)(46)(5)$ permutaciones en $S_7$. Calcule el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.

:::spoiler *Solución:*
- $\alpha = (15)(27436)=(15)(26)(23)(24)(27)\therefore\text{ord}(\alpha)=10$.
- $\beta =(1372)(46)(5)=(12)(17)(13)(46)\therefore\text{ord}(\beta)=4$.
- $\alpha\beta=(15)(27436)(1372)(46)=(634251)\therefore\text{ord}(\alpha\beta)=5$.
- $\beta\alpha=(1372)(46)(15)(27436)=(615347)\therefore\text{ord}(\beta\alpha)=6$
:::
## 7. Pruebe que para $n \geq 3$ el grupo alternante $A_n$ es generado por los $3$-ciclos.

:::spoiler *Solución:*
[Consulte aquí.](https://hackmd.io/uDO93ZMtSNSHTuX-0uRIcA?view#Teorema1)
:::

## 8. Encuentre el centro de $S_n$ y el centro de $A_n$, para $n\geq2$.
:::spoiler *Solución:*
Sea cualquier $\alpha\in S_n$, sabemos que
\begin{align*}\alpha=(ij...)(...)...(...)\end{align*}
esto es, $\alpha$ puede ser factorizada en ciclos disyuntos y nuestra atención se va a fijar en los elementos $i,j$ donde $i\neq j$. Ahora veamos una permutación $\beta$ particular tal que
\begin{align*}\beta=(jk)\end{align*}
donde $j\neq k\neq i$. Ahora dado que tanto $\alpha$ como $\beta$ son funciones, vamos a evaluar su valor en $(i)$:

\begin{align*}\beta\circ\alpha(i)&=\beta(\alpha(i))\\&=\beta(j)\\&=k\\&\neq j\\&=\alpha(i)\\&=\alpha(\beta(j))\end{align*}
Luego, $\forall\alpha\in S_n\exists\beta:\alpha\beta\neq\beta\alpha$.
:::

## 9. Sea $D_4=\{\sigma,\tau:\sigma^2=1,\tau^4=1,\tau^{-1}\sigma=\sigma\tau\}$ y $Q_8=\{a,b:a^2=b^2, a^4=1, ab=ba^3\}$. Pruebe que $D_4\ncong Q_8$.

:::spoiler *Solución:*
Suponga que $D_4\cong Q_8$, entonces existe $\varphi:D_4\to Q_8$ biyectiva tal que $\varphi(\omega\gamma)=\varphi(\omega)\varphi(\gamma)$, para todos $\omega,\gamma\in D_4$. Como $\varphi$ es inyectiva, $\omega\neq\gamma\Leftrightarrow\varphi(\omega)\neq\varphi(\gamma)$ y sabemos que $D_4$ tiene $5$ elementos de orden $2$ ($\rho_2,\mu_1,\mu_2,\delta_1,\delta_2$), luego, existen exiactamente 5 elementos de orden $2$ en $Q_8$ ($\varphi(\rho_2),\varphi(\mu_1),\varphi(\mu_2),\varphi(\delta_1),\varphi(\delta_2)$) sin embargo, esto es una contradicción pues por defecto solo $-1$ es un elemento de orden 2.
:::

## 10. Considere las siguientes permutaciones de $S_7$.

\begin{align*}
\quad\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}&,
\quad\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 7 & 4 & 6 \end{pmatrix},\\
\quad\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 3 & 1 & 5 & 2 & 7 \end{pmatrix}&,
\quad\sigma_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 6 & 5 & 4 & 3 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\end{align*}

- Descomponga cada una de las permutaciones como productos de ciclos disyuntos.
:::spoiler *Solución:*
- $\sigma_1=(23)$
- $\sigma_2=(132)(4576)$
- $\sigma_3=(1624)$
- $\sigma_4=(126)(35)$
:::
- Encuentre la inversa de $\sigma_i$ para $1\leq i \leq 4$.
:::spoiler *Solución:*
- $\sigma_1^{-1}=(23)$
- $\sigma_2^{-1}=(6754)(231)$
- $\sigma_3^{-1}=(4261)$
- $\sigma_4^{-1}=(35)(621)$
:::
- Encuentre el orden de cada una de las permutaciones.
:::spoiler *Solución:*
- $\text{ord}(\sigma_1)=2$
- $\text{ord}(\sigma_2)=12$
- $\text{ord}(\sigma_3)=4$
- $\text{ord}(\sigma_4)=6$
:::
- Escriba cada permutación como producto de transposiciones.
:::spoiler *Solución:*
- $\sigma_1=(23)$
- $\sigma_2=(12)(13)(46)(47)(45)$
- $\sigma_3=(14)(16)(12)$
- $\sigma_4=(16)(12)(35)$
:::

## 11. Sea $n\geq2$ un entero. Defina $\varphi:S_n\to S_{n+2}$ por
\begin{align*}
\begin{cases}
\varphi(\sigma)(i)=\sigma(i),\ &1\leq i\leq n\\
\varphi(\sigma)(n+1)=n+1,\ \varphi(\sigma)(n+2)=n+2,\ &\text{si sgn}(\sigma)=1\\
\varphi(\sigma)(n+1)=n+2,\ \varphi(\sigma)(n+2)=n+1,\ &\text{si sgn}(\sigma)=-1
\end{cases}
\end{align*}

---
:::spoiler *¿Cómo entender esta función?*
Primero que todo, sabemos que la función va de un grupo de permutaciones de $n$ elementos a uno de $n+2$ elementos, la primera parte de la definición nos dice que los $n$ primeros elementos del conjunto conservan la permutación que traían desde $\sigma$. Para los dos últimos elementos sabemos que se mantienen estáticos si $\text{sgn}(\sigma)=1$ o intercambian sus lugares si $\text{sgn}(\sigma)=-1$.

De manera más visual, para $\sigma=(a_1,a_2,...,a_n)\in S_n$, se va a tener que si $\text{sgn}(\sigma)=1$ entonces $\varphi(\sigma)=\sigma$, en caso contrario, si $\text{sgn}(\sigma)=-1$ entonces $\varphi(\sigma)=\sigma(a_{n+2}a_{n+1})$.
:::
---
- Encuentre $\varphi(\sigma)$ donde $\sigma=(1256743)\in S_7$. Encuentre la descomposición en ciclos distuntos de $\sigma$ y de $\varphi(\sigma)$.
:::spoiler *Solución:*
Como $\sigma=(1256743)=(13)(14)(17)(16)(15)(12)$, luego $\text{sgn}(\sigma)=1$ y por tanto $\varphi(\sigma)=\sigma$.
:::
- Pruebe que $\varphi$ es un homomorfismo de grupos ¿Es inyectivo? Encuentre $\text{ker}\varphi$
:::spoiler *Solución:*
Sean $\alpha,\beta\in S_n$, tenemos dos casos posibles: $\text{sgn}(\alpha\beta)=1$ o $\text{sgn}(\alpha\beta)=-1$, pues sin pérdida de generalidad asumimos que en el primer caso $\text{sgn}(\beta)=\text{sgn}(\alpha)$ y en el segundo, $\text{sgn}(\beta)\neq\text{sgn}(\alpha)$.

**Caso 1:**
\begin{align*}
\varphi(\alpha\beta)&=\alpha\beta\\
&=\varphi(\alpha)\varphi(\beta)
\end{align*}
**Caso 2:**
\begin{align*}
\varphi(\alpha\beta)&=[\alpha\beta](\eta_{n+1}\eta_{n+2})\\
&=\alpha[\beta(\eta_{n+1}\eta_{n+2})]\\
&=\varphi(\alpha)\varphi(\beta)
\end{align*}
Luego $\varphi$ es un homomorfismo. Ahora veamos que $\text{ker}\varphi=\{e\}$ pues esto es equivalente a que $\varphi$ sea inyectiva.

La segunda contenencia se tiene inmediatamente, por lo que nos centraremos en $\ker{\varphi}\subseteq\{e\}$. Sea $x\in\text{ker}\varphi$, se tiene que $\varphi(x)=e'$ donde $e'$ es el neutro en $S_{n+2}$, si suponemos $x\neq e$ entonces $x(i)\neq i$ para algún $i,\ 1\leq i\leq n$. Pero entonces $[\varphi(x)](i)=x(i)\neq i$ por lo que $\varphi(x)\neq e'$.Por contradicción llegamos a que el único elemento del kernel de $\varphi$ necesariamente es $e$.
:::
- ¿Qué puede decir de $\text{Im}(\varphi)$?
:::spoiler *Solución:*
Primeramente sabemos que $\text{Im}(\varphi)\neq S_{n+2}$ pues no existe $x\in\text{Im}(\varphi)$ tal que $x(1)=n+1$, cosa que si pasa en $S_{n+2}$. Sin embargo sí sabemos que existe un subgrupo de orden $n!$ en $S_{n+2}$, el teorema de Lagrange nos permite sustentar esto pues $n!|(n+2)!$.
:::

## 12. ¿Es posible construir un monomorfismo $\phi: S_m\times S_n\to S_{m+n}$?
:::spoiler *Solución:*
Como $|S_k|=k!$, entonces $|S_n\times S_n|=(n!)^2$ y $|S_{m+n}|=(m+n!)$. Si $(n!)^2>(m+n)!$ entonces por el prinicipio del palomar existen $x,y\in S_n\times S_n$ tales que $x\neq y$ y $\phi(x)=\phi(y)$, también tenemos entonces que $e'=\phi(x)\cdot\phi(y)^{-1}=\phi(xy^{-1})$ y por tanto $e\neq xy^{-1}\in\text{ker}\phi$, por lo que $\text{ker}\phi\neq\{e\}$ y por tanto $\phi$ no es inyectiva, esto es, $\phi$ no es un monomorfismo.
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## 13. ¿Es posible construir un monomorfismo de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ en $S_3$?
:::spoiler *Solución:*
No, dado que $\text{ord}(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)=4$, sabemos que si $\phi$ es una función inyectiva de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ en $S_3$, $\text{ord}(\phi[\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2])=4$, suponiendo que $\phi$ fuera un monomorfismo, el orden de la imágen de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ dividiría a 6, el orden de $S_3$.
:::

## 14. Sea $G$ un grupo de orden 6. Pruebe que
¿Vimos ya el Teorema de Cauchy? *no sea ficty, Tomás >:v*

- Si $G$ es abeliano entonces es isomorfo a $\mathbb{Z}_6$

- Si $G$ no es abeliano entonces es isomorfo a $S_3$
:::spoiler *Solución*
Sabemos que si un grupo tiene 6 elementos y es no abeliano es de la forma $G=\{e,a,b,ab,ba,bab\}$ (puede consultar las diapositivas *1. Definición de grupo*). A partir de esta definición de $G$ podemos construir únicamente estas dos tablas de Cayley:
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|cc}
& e & a & b & ab & ba & bab \\
\hline e & e & a & b & ab & ba & bab \\
a & a & e & ab & b & bab & ba \\
b & b & ba & e & bab & a & ab \\
ab & ab & bab & a & ba & e & b \\
ba & ba & b & bab & e & ab & a \\
bab & bab & ab & ba & a & b & e \\ \end{array}$$

$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|cc}
& e & a & b & ab & ba & bab \\
\hline e & e & a & b & ab & ba & bab \\
a & a & b & ab & e & bab & ba \\
b & b & ba & e & bab & a & ab \\
ab & ab & bab & a & ba & b & e \\
ba & ba & e & bab & b & ab & a \\
bab & bab & ab & ba & a & e & b \\ \end{array}$$

Sin embargo, la segunda tabla tiene varios problemas:
- $a$ es de orden 4
- no existen $k,l\in \mathbb{Z}$ tales que $(ab)^k =e=(ba)^l$

Es decir que debe haber alguna operación en la tabla que nos lleve a una contradicción:
Observe que $$\begin{align*} a^2 &= b\\ a^4 &= b^2\\ a^4 &= e \\ aa^2a&=e\\ aba&=e \end{align*}$$
pero de acuerdo a la tabla $a(ba) = bab$, esta es la contradicción.

Por lo tanto únicamente podemos quedarnos con la primera tabla. Y esta es isomorfa a $S_3$ por medio de:
$$\begin{align*} \varphi: G &\to S_3\\ e&\mapsto \rho_0 \\ a&\mapsto \mu_2 \\ b&\mapsto \mu_3 \\ ab&\mapsto \rho_1 \\ ba&\mapsto \rho_2 \\ bab&\mapsto \mu_1 \\\end{align*}$$

:::

## 15. En $S_{10}$, ¿cuál es el mayor orden que puede tener un elemento?

## 16. Sea $\sigma$ el $m$-ciclo $(123...m)$. Pruebe que $\sigma^i$ es un $m$-ciclo si y solo si $(m,i)=1$.
- Si $σ^i$ es de orden $m$ entonces $(i, m) = 1$
Llamemos $S$ al generado por $\sigma$, como éste es de orden $m$, $S$ también es de orden $m$. Por teorema, el generado de $\sigma^i$ es subgrupo de $S$, cuyo orden es $m/d$, con $d$ el máximo común divisor de $i$ y $m$. Por hipótesis el orden de $\sigma ^i$ es $m$, así que $\frac{m}{d} =m$, por lo tanto $d=1$ es decir que $(i, m) = 1$.
- Si $(i, m) = 1$ veamos que $σ^i$ es de orden $m$
Por colorario del teorema anterior, si $(i, m) = 1$ entonces $\sigma ^i$ genera a $S$, y como $S$ es de orden $m$ se tiene que $|\langle\sigma^i\rangle|=m$, por lo tanto el orden de $\sigma^i$ es $m$.

:::spoiler *Teorema:*
Sea $G$ un grupo cíclico con $n$ elementos generado por $a$. Sea $b \in G$ y sea $b=a^s$. Entonces, $b$ genera un subgrupo con $n/d$ elementos donde $d$ es el máximo común divisor de $n$ y $s$.
:::
::: spoiler *Corolario:*
Si $a$ es un generador de un grupo cíclico finito $G$ de orden $n$, entonces los otros generadores de $G$ son los elementos de la forma $a^r$, donde $n$ y $r$ son primos relativos.
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## 17. Sea $n\geq3$. Suponga $i,j,k,l$ enteros diferentes.
- Verifique que $(i j)(j k) = (i j k),\ (i j)(k l) = (i j k)(j k l),\ (i j k) = (1 i j)(1 j k)$ y por último $(1 i j) = (1 2 j)(1 2 i)^2$.
- Pruebe que $A_n$ está generado por los $3$-ciclos.

- Pruebe que $A_n=\langle (12i)_{3\leq i \leq n}\rangle$
:::spoiler *Demostración:*
Sea un $3$-ciclo $x$ de $A_n$, $x=(abc)$, veamos que $(abc)$ puede ser expresado como producto de $3$-ciclos de la forma $(12i)_{3\leq i \leq n}$:
\begin{align*}
(12c)(12a)^2(12c)(12b)(12a)^2(12b)&=[(12c)(12a)^2(12c)][(12b)(12a)^2(12b)]\\
&=[(ac)(12)][(ab)(12)]\\
&=(ac)(ab)(12)^2\\
&=(abc)
\end{align*}
Como los $3$-ciclos generan a $A_n$ y todo $3-ciclo$ es producto de $3$-ciclos de la forma $(12i)_{3\leq i \leq n}$, luego $A_n$ es generado por estos últimos.
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## 18. $n\geq4$, $3<j\leq n$, calcule $(32j)(123)^2(32j)^{-1}$

:::spoiler *Solución:*
\begin{align*}
(32j)(123)^2(32j)^{-1}&=(32j)(123)(123)(j23)\\
&=(32j)(132)(j23)\\
&=(12j)
\end{align*}
:::
## 19. Sea $N\unlhd A_n$ para $n\geq3$. Pruebe que si $N$ contiene un $3$-ciclo entonces $N=A_n$.
:::spoiler *Solución:*
- Si $n=3$. Supongamos que el 3-ciclo es $(1\ 2\ 3)$, como $N$ es subgrupo $(1\ 2\ 3)^{-1}= (1\ 3\ 2)\in N$, además la identidad también debe ser un elemento de $N$. Luego $N=\{1, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ que es precisamente $A_3$
- Si $n=4$. Supongamos que el ciclo $(p\ q\ r) \in N$, falta ver si $(p\ q\ a),(p\ r\ a),(q\ r\ a) \in N$, con esto tendríamos todos los 3-ciclos posibles ya sólo faltarían los inversos pero como $N$ es subgrupo también estarían ahí.
Tome los elementos $(p\ q\ a), (p\ a\ r), (p\ r\ a)$ que pertenecen a $A_4$. Operando se tiene que:
$$\begin{align}i)& &(p\ a\ r)(p\ r\ q)(p\ r\ a) = (p\ q\ a)\\
ii)& &(p\ a\ q)(p\ q\ r)(p\ q\ a)= (p\ r\ a)\\
iii)& &(p\ r\ a)(p\ r\ q)(p\ a\ r) = (q\ r\ a)\end{align}$$ Por definición de normalidad estos productos pertencen a $N$.
- Si $n=5$. Tomemos $(p\ q\ r)$ como el ciclo que está en $N$. Siguiendo el razonamiento anterior falta ver si los elementos $(p\ a\ b),(q\ a\ b),(r\ a\ b)$ están en $N$.
- Para $(p\ a\ b)$ sabemos que $(p\ r\ b) \in N$ utilizando $ii)$, como $N$ es subgrupo $(p\ r\ b)^{-1} = (p\ b\ r) \in N$ y tomando $(b\ r\ a) \in A_4$ operamos: $(b\ a\ r)(p\ b\ r)(b\ r\ a)= (p\ a\ b)$ y como $N$ es normal entonces $(p\ a\ b) \in N$.
- Para $(r\ a\ b)$ esta vez tomamos $(b\ p\ a) \in A_4$ y operamos: $(b\ a\ p)(p\ r\ b)(b\ p\ a)= (r\ a\ b)$ y como $N$ es normal entonces $(r\ a\ b) \in N$.
- Para $(q\ a\ b)$ sabemos que $(q\ r\ b) \in N$ utilizando $iii)$, como $N$ es subgrupo $(q\ r\ b)^{-1} = (q\ b\ r) \in N$ y tomando $(b\ r\ a) \in A_4$ operamos: $(b\ a\ r)(q\ b\ r)(b\ r\ a)= (q\ a\ b)$ y como $N$ es normal entonces $(q\ a\ b) \in N$.
- Si $n=6$. Supongamos que el ciclo $(p\ q\ r) \in N$, sólo falta ver si $(a\ b\ c)\in N$, porque cualquier otro 3-ciclo se prueba que está en $N$ utilizando los casos anteriores.
Sabemos que $(p\ c\ a) \in N$ como el primer caso de $n=5$. Ahora operamos: $(p\ b\ q)(p\ c\ a)(p\ q\ b)= (a\ b\ c)$ y como $N$ es normal entonces $(a\ b\ c) \in N$.

En todos los casos llegamos a que todo 3-ciclo está en $N$. Como $A_n$ está generado por los 3 ciclos tenemos que $A_n \subseteq N$ y por doble contenencia: $A_n=N$
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## 20. Pruebe que $A_4$ no tiene subgrupos de orden 6.
:::spoiler *Solución:*
Supongamos que tiene un subgrupo $G$ de orden 6. Como $|A_4|=12$ se tiene que el índice $[G: A_4]=2$, entonces $G$ tiene que ser normal en $A_4$.
Por lo demostrado en el punto anterior $G=A_4$, contradicción.
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## 21. ¿Si $r$ es par, entonces un $r$-ciclo es par?
:::spoiler *Solución:*
Contraejemplo: Considere el 4-ciclo $(1\ 2\ 3\ 4)$ el cual es igual al producto de transposiciones: $(1 \ 4)(1\ 3)(1\ 2)$, por lo tanto $(1\ 2\ 3\ 4)$ es impar, y por teorema sabemos que si es impar no puede ser a su vez par.
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## 22. Sea $H\subset S_n$ definido por $\{f \in S_n : f(1) = 1\}$. Pruebe que $H$ es un subgrupo de $S_n$ isomorfo a $S_{n−1}$. ¿Es $H$ normal en $S_n$?
::: spoiler *Solución:*
- Veamos que $H$ es subgrupo:
La identidad es un elemento de $H$, de modo que $H\neq \varnothing$. Ahora, si $\sigma, \tau$ son elementos e $H$ veamos si $\sigma \tau^{-1}\in H$. En notcación de arreglo se tiene que: $$\sigma \tau^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & \dots & n\\
1 &\sigma(\tau^{-1}(2)) &\dots &\sigma (\tau^{-1}(n)) &
\end{pmatrix}$$
Como $(\sigma \tau^{-1})(1)=1$ entonces es un elemento de $H$. Así que $H$ es subgrupo de $S_n$
- Veamos que $H\cong S_{n-1}$
Planteamos la función $$\begin{align*} \varphi: S_{n-1} &\to H\\ \sigma &\mapsto \varphi(\sigma)\end{align*}$$ donde $$\varphi(\sigma)(i) := \begin{cases} 1, &\text{si } i=1\\ \sigma(i-1)+1, &\text{si } 1 < i \leq n\end{cases}$$
En notación de arreglo:
$$\varphi(\sigma) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\
1 & \sigma(1)+1 & \sigma(2)+1 & \dots & \sigma(n-1)+1\end{pmatrix}$$
- Veamos que es homomorfismo:
Sean $\sigma, \tau \in S_{n-1}$, se tiene que: $$\begin{align*} \varphi(\sigma \tau) &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\
1 & (\sigma \tau)(1)+1 & (\sigma \tau)(2)+1 & \dots & (\sigma \tau)(n-1)+1\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\
1 & \sigma (\tau(1))+1 & \sigma (\tau(2))+1 & \dots & \sigma (\tau(n-1))+1\end{pmatrix}\\
&= \varphi(\sigma)(\varphi(\tau))
\end{align*}$$
- Veamos que $\varphi$ es inyectiva:
Sean $\sigma, \tau \in S_{n-1}$ tales que $\varphi(\sigma) = \varphi(\tau)$. De modo que:
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\
1 & \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma(n-1)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\
1 & \tau(1) & \tau(2) & \dots & \tau(n-1)
\end{pmatrix}$$
Para todo $1 < i \leq n$ se tiene que $\sigma(i)= \tau(i)$, luego $\sigma=\tau$.
- Veamos que $\varphi$ es sobreyectiva:
Sea $\sigma \in H$, así que $$\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & \sigma(2) & \sigma(3) & \dots & \sigma(n)
\end{pmatrix}$$
Para cada $\sigma$ existe $\tau \in S_{n-1}$ donde $\tau(i)=\sigma(i+1)-1$, con $1\leq i \leq n-1$. Esto es:
$$\begin{align*} \tau &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n-1 \\
\sigma(2)-1 & \sigma(3)-1 & \sigma(4)-1 & \dots & \sigma(n)-1 \end{pmatrix}\\
\varphi(\tau) &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n-1 \\
1 & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) & \dots & \sigma(n) \end{pmatrix}\\
\varphi(\tau) &= \sigma \end{align*}$$

Como $\varphi$ es biyectiva, los grupos son isomorfos.
- $H$ no es normal en $S_n$
En $S_3$ considere las permutaciones $\sigma = (2\ 3), \tau(1\ 2\ 3)$. Evidentemente $\sigma\in H$, veamos si $\tau^{-1} \sigma \tau$ es también un elemento de $H$:
$$\tau^{-1} \sigma \tau = (1\ 3\ 2)(2\ 3)(1\ 2\ 3) = (1\ 2)(3)$$
$\tau^{-1} \sigma \tau (1) =2$, es decir que $\tau^{-1} \sigma \tau \notin H$, por lo tanto $H$ no es subgrupo normal en $S_3$
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## 23. Supongamos que $G$ es un grupo finito, que $p$ es un primo y que $G$ tiene exactamente $m$ subgrupos de orden $p$. Muestre que el número de elementos de orden $p$ en $G$ es $m(p − 1)$.

## 24. Un conjunto de 52 tarjetas se divide en dos partes iguales y se intercala, de tal manera que si el orden original es 1, 2, 3, 4, . . . , el nuevo orden es 1, 27, 2, 28, . . . ¿Cuántas veces debe repetirse el procedimiento para que las tarjetas vuelvan a su ubicación original?
:::spoiler *Solución:*
Esta permutación vista como arreglo es:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 & 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 \\
1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 & 21 & 23 & 25 & 27 & 29 & 31 & 33 & 35 & 37 & 39 & 41 & 43 & 45 & 47 & 49 & 51 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 30 & 32 & 34 & 36 & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 & 50 & 52 \end{pmatrix}$
La cual se puede ver como producto de ciclos disyuntos:
$(1) (2\ 3\ 5\ 9\ 17\ 33\ 14\ 27\ 2) (4\ 7\ 13\ 25\ 49\ 46\ 40\ 28) (6\ 11\ 21\ 41\ 30\ 8\ 15\ 29) (10\ 19\ 37\ 22\ 43\ 34\ 16\ 31) (12\ 23\ 45\ 38\ 24\ 47\ 42\ 32) (18\ 35) (20\ 39\ 26\ 51\ 50\ 48\ 44\ 36) (52)$
Tenemos un 2-ciclo y seis 8-ciclos. Como son disyuntos el orden de toda la permutación es $\text{mcm}(1,2,8) = 8$. Así que es necesario aplicar el procedimiento 8 veces para obtener el orden original.
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## 25. El orden de un elemento en $S_8$ es un divisor de $|S_8| = 8!$. Sabiendo que toda permutación puede ser escrita como producto de ciclos disyuntos, ¿cuáles son los órdenes realmente posibles? Dé ejemplos de divisores de $8!$ tal que no haya ningún elemento de $S_8$ con ese orden.