# Definición
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**Definición**: Sean $(G, \cdot)$ un grupo, $H \subseteq G$, $H \neq \varnothing$. $H$ se dice **subgrupo** de $G$ si $(H, \cdot)$ es grupo.
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**Teorema**: Sean $(G, \cdot)$ un grupo, $H \subseteq G$, $H \neq \varnothing$. $H$ es **subgrupo** de $G$ si y sólo si para todo $a,b \in H$ se tiene que $a\cdot b^{-1} \in H$
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- En notación aditiva: $a-b \in H$
- Este teorema es equivalente a: $a,b \in H \Rightarrow (a\cdot b \in H) \wedge (\forall a \in H, a^{-1} \in H )$

:::spoiler Demostración
- $\Rightarrow)$ Si $H$ es subgrupo de $G$, para todo $a,b \in H$ se tiene que $a\cdot b^{-1} \in H$:
Sean $a,b\in H$ arbitrarios. Como $H\leq G$ se tiene que $b^{-1}\in H$ y como $H$ es cerrado, $a\cdot b^{-1}\in H$. Al ser $a,b$ arbitrarios, se concluye la propiedad.

- $\Leftarrow)$ Si para todo $a,b\in H$ se tiene que $a\cdot b^{-1}\in H$, $H$ es subgrupo de $G$:
La asociatividad se tiene, pues $H\subseteq G$. Falta ver la existencia de neutro e inverso para cada elemento.
- Sea $b\in H$. Por hipótesis se tiene que $b\cdot b^{-1}\in H$, esto es: $e\in H$, con $e$ el neutro de $G$.
- Sea $b\in H$ arbitrario. Como $e\in H$, por hipótesis se tiene que $e\cdot b^{-1}\in H$, esto es: $b^{-1}\in H$.

Por definición se tiene que $H\leq G$. Así, se tienen ambas implicaciones. (Note que en las pruebas se me olvidó usar que $H\neq \varnothing$ xd).
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:::info
**Proposición**: Un subconjunto no-vacı́o $H$ de un grupo finito $G$ es un subgrupo si y sólo si $H$ es cerrado, esto es: $a,b \in H \Rightarrow a\cdot b \in H$.
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:::info
**Teorema**: Sea $H \subseteq \mathbb{Z}$, $H$ es subgrupo de $\mathbb{Z}$ si y sólo si existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $H = n\mathbb{Z}:= \{nx : x \in \mathbb{Z}\}$. Se denota por $H\leq\mathbb{Z}$.
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# Subgrupo cíclico
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**Definición**: Sean $(G, \cdot)$ un grupo y $a\in G$. $\langle a \rangle:= \{a^n : n\in \mathbb{Z}\}$
es llamado el **subgrupo cı́clico** generado por $a$.
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:::danger
**Definición**: Un grupo $G$ se dice cı́clico si existe un elemento $a\in G$ tal que $G = \langle a \rangle$.
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Es decir que un grupo $G$ es cíclico si todos sus elementos se pueden escribir como potencia de algún $a\in G$.
- $a$ se dice generador de $G$.
- $\langle a \rangle$ es subgrupo de $G$.
- Los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son $\langle n\rangle$, $n \geq 0$.
- - $G$ es cíclico si coincide con alguno de sus subgrupos cíclicos.

## Orden de un elemento
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**Definición**: Sean $(G, \cdot)$ un grupo y $a\in G$. Si $a^k = e$ para algún $k \geq 1$, entonces el más pequeño de tales exponentes es llamado el **orden** de $a$. Si tal potencia no existe, decimos que $a$ tiene orden infinito.
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:::info
**Teorema**: Sea $a\in G$ un elemento de orden $n$, entonces $a^m = e$ si y sólo si $n \mid m$.
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:::info
**Proposición**: Sea $G$ un grupo finito y $a\in G$.Entonces el orden de $a$ es $|\langle a \rangle|$.
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- Si $G$ es finito, entonces para todo $a\in G$ se tiene $o(a) \mid o(G)$.
- Si $G$ es finito, entonces para todo $a\in G$ se tiene que $a^{|G|} = 1$.

:::info
**Teorema**: Si $G=\langle a \rangle$ es un grupo cı́clico de orden $n$, entonces $a^k$ es un generador de $G$ si y sólo si $(k, n) = 1$.
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- Sólo generan los que son primos relativos con $n$.
- Un grupo cíclico tiene tantos generadores como primos relativos menores de $n$ hay, esto es: $\varphi (n)$.

## Propiedades de grupos cíclicos:

- Todo grupo cíclico es abeliano.
- Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
- Sea $G \neq \{e\}$ un grupo. Entonces, $G$ es un grupo cíclico finito de orden primo si, y sólo si, $G$ no tiene subgrupos diferentes de los triviales.
- Si $(G, \cdot)$ es un grupo cíclico infinito, entonces cada subgrupo de $G$ diferente de $\{e\}$ es también infinito.
- Si $(G, \cdot)$ es grupo cı́clico infinito entonces todo subgrupo no-trivial de $G$ también es infinito.
:::success
- Todo grupo cı́clico infinito es "casi igual" a $\mathbb{Z}$.
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# Generadores
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**Teorema**: Sea $G$ un grupo cíclico finito de orden $n$ con generador $a$. Entonces, $x \in G$ es generador de $G$ si y sólo si $x = a^r$ , donde $m. c. d.(n, r) = 1$
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:::info
**Teorema**: Sea $G$ un grupo cíclico con generador $a$ y sea $H \neq \{e\}$ un subgrupo de $G$. Entonces, $H = \langle a^s \rangle$ , donde $s$ es el menor entero positivo tal que $a^s ∈ H$.
Además, si $G$ es de orden finito $n$ entonces $|H | = \frac{n}{d}$ , con $d = m. c. d.(n, s)$.
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:::info
**Teorema**: Sea $G$ un grupo cíclico de orden finito $n$ y sea $t \in ℤ^+$ tal que $t \mid n$, entonces $G$ contiene exactamente un subgrupo de orden $t$.
>oigan, este está como raro :u
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