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title: Algunas soluciones del taller 2

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# Algunas soluciones del taller 2
Dayn no me borre esto 
## 6. Sean $n,m$ números enteros. Pruebe que

### b) $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}=k\mathbb{Z}$, donde $k=[n,m]$.
#### Demostración:
##### 1. $n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}\subseteq k\mathbb{Z}$:
Sea $x\in n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}$, $n|x$ y $m|x$, por la definición de $[n,m]$, $k|x$ luego $x\in\mathbb{Z}$.

##### 2. $k\mathbb{Z}\subseteq n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}$:
Sea $x\in k\mathbb{Z}$, $x=k\cdot l$ para algún entero $l$. Como $k=[n,m]$, $k=n\cdot a=m\cdot b$ para enteros $a,b$ luego $x=n\cdot a\cdot l=m\cdot b\cdot l$ y por tanto $a\in n\mathbb{Z}$ y $a\in m\mathbb{Z}$ por lo que concluimos $x\in n\mathbb{Z}\cap m\mathbb{Z}$.

Por la doble contenencia queda demostrado el ejercicio.




## 11. Sea $G=\langle a\rangle$ un grupo cíclico de orden $m$. Demuestre las siguientes afirmaciones.

### b) Si $k|m$ entonces $K=\langle a^k\rangle$ es de orden $m/k$.
#### Demostración:
Dado que $m$ es el orden de $a$, se tiene:
$$\begin{align*}
(a^k)^{\frac{m}{k}}&=a^{\frac{km}{k}}\\
&=a^m\\
&=e
\end{align*}$$
Ahora, supongamos que $\frac{m}{k}$ no es el orden de $a^k$. Luego existe un entero $j<\frac{m}{k}$ tal que $(a^k)^j=e$, sabemos que como $j<\frac{m}{k}$ entonces $jk<\frac{m}{k}k=m$ y por tanto llegamos a que $a^{jk}=(a^k)^j=e$ y llegamos a una contradicción, pues concluimos que $jk$ es el orden de $G$.

### c) El número de subgrupos distintos de $G$ es el mismo que el número de divisores distintos de $m$.
#### Demostración:
Como $G$ es cíclico, tenemos inmediatamente que $n|m$ si y solo si existe $H$ tal que $|H|=n$

### d) Para $d$ un divisor de $m$, existe a lo más un subgrupo de $G$ de orden $d$.

#### Demostración:
Como $d|m$, existe un único entero $k$ tal que $d\cdot k=m$ y por los resultados del ejercicio **b)**, sabemos que $\langle a^k\rangle$ tiene orden $d$, y como $k$ es único, el grupo de orden $d$ también lo es. :)

