# Teorema Fundamental del Homomorfismo
Siempre que haya un homorfismo existe el kernel, éste es subgrupo normal, así que existe el grupo cociente $G/ \text{ker } \phi$.
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**Teorema:** Sean $G$ un grupo y $\phi:G\rightarrow G'$ un homomorfismo sobreyectivo , entonces existe un subgrupo normal $H$ de $G$ tal que $G'\cong G/H$. $H$ es precisamente el $\text{ker } \phi$.

Recíprocamente, dado $H\trianglelefteq G$ es posible construir un homomorfismo sobreyectivo de $G$ en $G/H$, el homomorfismo canónico.
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$G/H$ se dice **imagen homomorfa** de $G$.
Hay tantas imágenes homomorfas como subgrupos normales

# Teoremas fundamentales del Isomorfismo

## Primer Teorema
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**Corolario:** Sea $\phi:G\rightarrow G'$ un homomorfismo de grupos. Entonces $\phi(G) \cong G/ \text{ker } \phi$
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## Segundo Teorema
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**Teorema:** Sean $G$ un grupo y $H,\ K$ subgrupos normales de $G$ tales que $H \leq K$. Entonces $K/H \unlhd G/H$ y además $^{G/H}/_{K/H} \cong G/K$.
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## Tercer Teorema
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**Teorema:** Sean G un grupo, $H ≤ G$ y $K \unlhd G$. Entonces $HK/K \cong H/(H \cap K)$
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# Teoremas de factorización
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**Definición:** Sea $\alpha: G_1 \to G_2$ un homomorfismo de grupos. Se dice que $\alpha$ **se puede factorizar** a través de $j: G_1 \to G_3$, o a través de $G_3$, si existe $\theta: G_3 \to G_2$ tal que $\alpha = \theta \circ j$
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**Teorema:** Sea $\alpha: G_1 \to G_2$ un homomorfismo de grupos y sea $H\trianglelefteq G$. Entonces $\alpha$ se puede factorizar de manera única a través de $G/H$ si y sólo si $H \subseteq \text{ker } \alpha$.
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**Colorarios:**
1. $\theta$ es inyectivo si y sólo si $H = \text{ker } \alpha$

2. $\theta$ es sobreyectivo si y sólo si $\alpha$ es sobreyectivo

3. Cada homomorfismo sobreyectivo $\alpha: G_1 \to G_2$ se puede factorizar de manera única a través de $G/ \text{ker } \alpha$. En este caso $\theta$ es un isomorfismo.

4. Sean $\alpha: G \to K$ un homomorfismo sobreyectivo y sea $H\unlhd G$. Entonces $\alpha$ induce el homomorfismo sobreyectivo
\begin{align*}
\alpha': G/H &\to K/\alpha(H) \\
Hx &\mapsto \overline{\alpha(x)} := \alpha(H)\alpha(x)
\end{align*}
Además $\alpha'$ es inyectivo si y sólo si $\text{ker } \alpha \subseteq H$.

5. Sea $\alpha: G \to K$ un homomorfismo de grupos y sea $H \unlhd K$. Entonces $\alpha$ induce el homomorfismo inyectivo
\begin{align*}
\alpha': G/\alpha^{-1}(H) &\to K/H \\
\alpha^{-1}(H)x &\mapsto H\alpha(x)
\end{align*}
Además si $\alpha$ es sobreyectivo entonces $\alpha'$ es un isomorfismo

6. Sean $G$ un grupo y $H, K \unlhd G$ tales que $H \subseteq K$. Entonces se tiene el homomorfismo sobre
\begin{align*}
\theta : G/H &\to G/K \\
Hx &\mapsto Kx
\end{align*}
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# Teorema de correspondencia

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**Definición:** Sea $G$ un grupo y $H \unlhd G$ se define:
$L(G, H) := \{K \leq G : H \subseteq K\}=$ **Conjunto de sugrupos de $G$ que contienen a $H$**.
$L(G/H):= \{J:J\leq G/H\}=$ **La familia de subgrupos de $G/H$**.
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**Teorema:** Existe una correspondencia biyectiva entre $L(G, H)$ y $L(G/H)$
\begin{align*}
\varphi : L(G,H) &\to L(G/H) \\
K &\mapsto \varphi(K) := K/H = \{Hx:x\in K\}
\end{align*}Además si existe $N \unlhd G$ tal que $H ⊆ N$, entonces $\varphi(N ) \unlhd G/H$.

::: spoiler *Demostración*
Primero veamos que $\varphi$ es inyectiva:
Sean $K,N\in L(G,H)$ tales que $\varphi(K)=^K/_H=^N/_H=\varphi(N)$ entonces
$$\begin{align*}
x\in K\Leftrightarrow& xH\in ^K/_N\\
\Leftrightarrow&xH\in ^N/_H\\
\Leftrightarrow& x\in N
\end{align*}$$
Por tanto $K=N$.
Ahora para demostrar sobreyectividad, sea $M\in L(G/H)$, $M\leq G/H$ y tomando el homomorfismo canónico $\phi: G\to G/H$ sabemos que $\phi^{-1}[M]\leq G$. Ahora veamos que $H\subseteq\phi^{-1}[M]$:
Sea $h\in H$, $\phi(h)=Hh=H$ es el neutro de $G/H$ y como $M\leq G/H$, $\phi(h)\in M$ o equivalentemente $h\in\phi^{-1}[M]$ por lo que llegamos a $H\subseteq\phi^{-1}[M]$. Luego $\varphi(\phi^{-1}[M])=M$ y como $M$ es un elemento cualquiera de $L(G/H)$ concluimos $\varphi$ es sobreyectiva.
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Existe una correspondencia biyectiva entre subgrupos de $G$ que contienen a $H$ y subgrupos de $G/H$. Bajo esta correspondencia, normales van en normales.