# Automorfismos
Sea un grupo $(G,\cdot)$ definimos anteriormente un **automorfismo** como un isomorfismo $\phi$
$$\begin{align*}
\phi:G\to G
\end{align*}$$
Veamos ejemplos de automorfismos para $(\mathbb{Z},+)$:

$$\begin{align*}
\phi_1:\mathbb{Z}&\to \mathbb{Z}\\
n&\mapsto n
\end{align*}$$
Sabemos que $\phi_1$ es un homomorfismo pues es la función identidad y naturalmente es una biyección que respeta la operación.
$$\begin{align*}
\phi_2:\mathbb{Z}&\to \mathbb{Z}\\
n&\mapsto -n
\end{align*}$$
Aquí empezamos a notar un patrón que se desarrollará más adelante. Por ahora veamos que estos son los dos únicos automorfismos en $\mathbb{Z}$ suponiendo que existe $\phi_3:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tal que $\phi_3(1)=m$ con $-1\neq m \neq 1$. Veamos que $\phi_3$ no es sobreyectiva (en consecuencia biyectiva ni un isomorfismo):
Sea $m+1\in\mathbb{Z}$, sabemos que $\phi_3(n)=\phi_3(1^n)=[\phi_3(1)]^n=n\cdot\phi_3(1)=n\cdot m$ luego $m|\phi(n),\forall n\in \mathbb{Z}$. Como $-1\neq m\neq 1$ entonces $m\nmid m+1$ y por tanto no existe $k$ tal que $\phi_3(k)=m+1$.

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#### Definición:
Sea $(G,\cdot)$ un grupo, definimos el **conjunto de automorfismos de $G$**, denotado $\text{Aut}(G)$ como:

$$\text{Aut}(G):=\{\phi\in G^G:\phi\text{ es un automorfismo}\}$$
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Para el ejemplo anterior, $\text{Aut}(\mathbb{Z})=\{\phi_1,\phi_2\}$ y veremos que $(Aut(\mathbb{Z}),\circ)\cong(\mathbb{Z}_2,+)$.

:::info
### Teorema:
$f\in Aut(\mathbb{Z_n})\Longleftrightarrow f(\overline{1})=k,\ (k,n)=1$
:::spoiler Demostración:
1. ($\Longrightarrow$):
Supongamos que $f\in Aut(\mathbb{Z_n})$ y $f(\overline{1})=\overline{q_0}$ con $(q_0,n)=p_0,\ p_0\neq1$. Por simpleza supongamos $q$ el mínimo entero positivo tal que $q_0\in\overline{q}$, además tenemos que $(q,n)=p\neq1$ por lo que $p|n$ y $p|q$. Sean $x=\frac{n}{p}<n$ y $y=\frac{q}{p}$, veamos que

$$\begin{align*}
f((\overline{1})^x)=&[f(\overline{1})]^x\\
=&\overline{q}^x\\
=&x\overline{q}\\
=&n\overline{y}\\
=&0\ (\text{mod }n)
\end{align*}$$
Lo que contradice que $n$ sea el orden de $\mathbb{Z}_n$ pues $x<n$. Luego $(k,n)=1$.

2. ($\Longleftarrow$):
Tenemos que mostrar que $f$ es un isomorfismo. Primero veamos la inyectividad:
Sean $\overline{a},\overline{b}\in\mathbb{Z}_n$ tales que $f(\overline{a})=f(\overline{b})$, se sabe que $f(\overline{a})=f(\overline{1}^a)=f(\overline{1})^a=\overline{k}^a=a\overline{k}=\overline{a}k$ y el caso es análogo para $f(\overline{b})$ por lo que llegamos a que $\overline{a}k=\overline{b}k$, multiplicando por $k^{-1}$ a derecha concluimos $\overline{a}=\overline{b}$.

Para demostrar sobreyectividad, suponga un elemento $\overline{m}\in\mathbb{Z}_n$, sabemos que $\mathbb{Z}_n$ es cíclico y es generado por los primos relativos de $n$, en particular $\mathbb{Z}_n=\langle k\rangle$ y por tanto $\overline{m}=\langle k^j\rangle$ con $j\in\mathbb{Z}$. Así, $f(\overline{j})=\overline{m}$ y $f$ resulta biyectiva.

Por el desarrollo mismo de las pruebas también se determina que es un homomorfismo, por lo que concluimos que $f\in\text{Aut}(\mathbb{Z})_n$.
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:::info
### Teorema:
$(Aut(\mathbb{Z_n}),\circ)\cong(\mathbb{Z}_n^*,\cdot)$
:::spoiler Demostración:
Sea la función
$$\begin{align*}
\pi:\text{Aut}(\mathbb{Z}_n)&\to\mathbb{Z}_n^*\\
f&\mapsto f(\overline{1})
\end{align*}$$
Por el teorema anterior sabemos que hay una biyección entre $\text{Aut}(\mathbb{Z}_n)$ y los primos relativos de $n$, además, anteriormente habíamos demostrado que $x\in\mathbb{Z}_n^*$ si y solo si es primo relativo de $n$ por lo que concluimos $\pi$ es una biyección. Veamos ahora que es un homomorfismo:
Sean $f,g\in\text{Aut}(\mathbb{Z}_n)$ tales que $f(\overline{1})=\overline{k},\ g(\overline{1})=\overline{j}$:

$$\begin{align*}
\pi(f\circ g)&=(f\circ g)(\overline{1})\\
&=f(g(\overline{1}))\\
&=f(\overline{j})\\
&=f(\overline{1}^j)\\
&=[f(\overline{1})]^j\\
&=(\overline{k})^j\\
&=j\cdot\overline{k}\\
&=\overline{k}\cdot\overline{j}\\
&=\pi(f)\cdot\pi(g)
\end{align*}$$
Así, concluimos que $\pi$ es un isomorfismo.
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