:::info
**Teorema:** Sea $(G, ⋅)$ un grupo y $a ∈ G$, para el cual existen $n, m ∈ \mathbb{N}$, $n>m$ tales que $a^n = a^m$. Entonces existe $m_0 ∈ \mathbb{N}$ tal que
1. $a^{m_0} = e$, y si $0 ≤ i < j < m_0$ entonces $a^i \neq a^j$
2. Si $a^z = e$, entonces $m_0 \mid z$
3. $\{a,a^2, \dots , a^{m_0-1}, e\}$ es subgrupo de G
:::spoiler *Demostración*
1. Sea $T=\{t\in \mathbb{N} : a^t=e\}$
Veamos que $T\neq \varnothing$
$$\begin{align*}
a^n &= a^m \\
a^n a^{-m} &= a^m a^{-m}\\
a^{n-m} &= e
\end{align*}$$

Como $n>m$, $n-m \in \mathbb{N}$. Así $n-m \in T$
Por el principio del buen orden, sea $m_0 = \min T$
> [toca terminar!!]

2. Por el algoritmo de Euclides se tiene $z = m_0q + r$ y así:
$$\begin{align*}a^r &= a^{z-m_0q}\\
&= a^z(a^{m_0})^{-q}\\
&= ee^{-q}\\
a^r &= e
\end{align*}$$
Como $m_0$ es el mínimo entonces $r=0$. Por lo tanto $m_0 \mid z$
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:::info
**Proposición:** Sea $G$ un grupo y sea $a$ un elemento cualquiera de $G$. Entonces,
1. El subgrupo cíclico $⟨a⟩$ generado por $a$ es infinito si, y sólo si, $a$ es un elemento de periodo infinito.
2. El subgrupo cíclico $⟨a⟩$ generado por $a$ es finito si, y sólo si, $a$ es un elemento de periodo finito
- si $n$ es el periodo del elemento $a$, entonces el orden $|⟨a⟩|$ del subgrupo generado por el elemento $a$ es exactamente $n$
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:::info
**Corolario:**
1. Si $G$ es finito entonces $o(a) | o(G)$
2. Sea $a$ un elemento de periodo finito $n$ del grupo $G$ no necesariamente finito. Si $a^k = 1$, con $k ∈ Z$, entonces $n | k$. Recíprocamente, si $k$ es un entero tal que $n | k$, entonces $a^k = 1$.
3. Si $G$ es finito, entonces $a^{|G|} = 1$
:::spoiler *Demostración*
1. Si $G$ es un grupo finito, entonces $⟨a⟩$ es también finito. Como $|⟨a⟩| = |a|$, entonces por el teorema de Lagrange $|a|\mid |G|$
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# Propiedades
- Si $G$ es un grupo cíclico de orden infinito, dos exponentes distintos no pueden dar elementos iguales. Esto es $h\neq k \Rightarrow a^h \neq a^k$
:::info
**Teorema:** todo grupo cíclico es abeliano
:::spoiler *Demostración:*
Los exponentes son enteros y la suma en ellos es conmutativa
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:::info
**Teorema:** un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico
:::spoiler *Demostración:*

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:::info
**Teorema:** Sea $G$ un grupo cíclico con $n$ elementos generado por $a$. Sea $b \in G$ y sea $b=a^s$. Entonces, $b$ genera un subgrupo con $n/d$ elementos donde $d$ es el máximo común divisor de $n$ y $s$.
:::spoiler *Demostración:*
Se sabe que $\langle b \rangle$ es un subgrupo, falta demostrar que es de orden $n/d$. Supongamos que $b$ es de orden $m$, es decir que $(a^s)^m=e$, esto si y sólo si $n \mid ms$, puesto que el orden de $a$ es $n$. Si $d=(n,s)$ y $m=\frac{n}{d}$, tenemos $ms= (\frac{n}{d})s = n(\frac{s}{d})$. Como $d\mid s$ sabemos que $\frac{s}{d}$ es entero, de modo que garantizamos que $n\mid ms$ al tiempo que hacemos $m$ el menor exponente posible, puesto que es el máximo número por el que podemos dividir a $n$ y $s$.
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:::info
**Corolario:** Si $a$ es un generador de un grupo cíclico finito $G$ de orden $n$, entonces los otros generadores de $G$ son los elementos de la forma $a^r$, donde $n$ y $r$ son primos relativos.
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# Grupo de enteros bajo el producto $\mathbb{Z}_m^*$

Es el grupo con los elementos invertibles de $\mathbb{Z}_m$ bajo el producto

Hay tantos elementos invertibles como primos relativos con $|\mathbb{Z}_m|$

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**Ejemplo:**
- Para $\mathbb{Z}_5 : \varphi(5) = 4 \Rightarrow \mathbb{Z}_5^* = \{1,2,3,4\}$
- Para $\mathbb{Z}_6 : \varphi(6) = 2 \Rightarrow \mathbb{Z}_6^* = \{1,5\}$
- Para $\mathbb{Z}_9 : \varphi(9) = 9 \Rightarrow \mathbb{Z}_6^* = \{1,2,4,5,7,8\}$
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:::info
**Proposición:** Sea $S ∶= \{[x] : 1 ≤ x ≤ m, (m, x) = 1\}$ ( el conjunto de las clases de equivalencia cuyo representante es coprimo con $m$), $S = (\mathbb{Z}_m^*, \cdot)$ y $|S| = \varphi (m)$.
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# Teorema de Euler
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**Teorema de Euler:** Sea $a\in \mathbb{Z}$, $(a,m) =1$, entonces $a^{\varphi(m)}\equiv 1 (\mod m)$
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## Función de Euler

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**Definición,** **función indicatriz de Euler:** Si $n \in \mathbb{Z}^+$, $\varphi(n)$ representa la cantidad de enteros positivos menores a $n$ y coprimos con $n$ $$\varphi(n) = |\{m\in \mathbb{N}: m\leq n \wedge \text{mcd}(m,n)=1\}|$$
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Si $p$ es un número primo $\varphi(p) = p-1$

:::info
**Teorema de Fermat:** Si $a\in \mathbb{Z}$ y $p$ es primo, entonces $a^p \equiv a (\mod p)$
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# Recíproco del Teorema de Lagrange

==Sólo para grupos cı́clicos==
Sea $G = \langle a \rangle$, $|G| = n$. Sea $1 ≤ d ≤ n$ con $d \mid n$, entonces existe $H ≤ G$ tal que $|H| = d$.