# Orden 3

## $\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\}$

$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array}$$

## Rotaciones del triángulo
$G = \{ \rho_0, \rho_1,\rho_2\}$
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|ccc} \circ &\rho_0 &\rho_1&\rho_2 \\ \hline \rho_0 &\rho_0 &\rho_1&\rho_2 \\\ \rho_1& \rho_1& \rho_2& \rho_0 \\ \rho_2& \rho_2& \rho_0 &\rho_1\end{array}$$

# Orden 4

## $\mathbb{Z}_4 = \{0,1,2,3\}$
Operación: suma
Es abeliano
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}$$
## V: 4° de Klein
Es abeliano
Todos los elementos son su propio inverso
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|cccc} * & e & a & b & c\\ \hline e & e & a & b & c\\ a & a & e & c & b\\ b & b & c & e & a\\ c & c & b & a & e \end{array}$$

## Movimientos del rectángulo
$G = \{\rho_0, \rho_1, r_x, r_y \}$
Operación: composición
$G\cong V$

## $\mathbb{Z}_5^* = \{1,2,3,4\}$
Operación: producto
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|ccccc} \times & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 3 & 2& 1 \end{array}$$
Es abeliano
$G\cong \mathbb{Z}_4$

# Orden 5
## $\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\}$
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|ccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2& 3 \end{array}$$
## Raı́ces quintas de la unidad
$$G = \{z ∈ \mathbb{C} : z^5 = 1\}$$
$r_0 = 1$
$r_1 = \cos\dfrac{2\pi}{5} + i\sin\dfrac{2\pi}{5} = e^{\frac{2\pi i}{5}}$
$r_2 = \cos\dfrac{4\pi}{5} + i\sin\dfrac{4\pi}{5} = e^{\frac{4\pi i}{5}}$
$r_3 = \cos\dfrac{6\pi}{5} + i\sin\dfrac{6\pi}{5} = e^{\frac{6\pi i}{5}}$
$r_4 = \cos\dfrac{8\pi}{5} + i\sin\dfrac{8\pi}{5} = e^{\frac{8\pi i}{5}}$
Operación: producto
$G\cong \mathbb{Z}_5$

# Orden 6
## $\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}$
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|ccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 0 & 1 & 2& 3 \\ 5 & 5 & 0 & 1 & 2& 3 &4 \end{array}$$

### $\mathbb{Z}_7^* = \{1,2,3,4,5,6\}$
Operación: producto
Es abeliano
$\mathbb{Z}_7^* \cong \mathbb{Z}_6$
$$\begin{array}{l|cccccc}
\mathbb{Z}_6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
\mathbb{Z}_7^* & 1 & 3 & 2 & 6 & 4 & 5 \\
\end{array}$$

### $\mathbb{Z}_9^* = \{1,2,4,5,7,8\}$
Operación: producto
Es abeliano
$\mathbb{Z}_9^* \cong \mathbb{Z}_6$
$$\begin{array}{l|cccccc}
\mathbb{Z}_6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
\mathbb{Z}_9^* & 1 & 2 & 4 & 8 & 7 & 5
\end{array}$$

## Grupo simétrico $S_3$
$S_3 = \{ \rho_0, \rho_1, \rho_2, \mu_1, \mu_2, \mu_3 \}$
$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|cccccc} \circ &\rho_0 &\rho_1&\rho_2 & \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 \\ \hline
\rho_0 &\rho_0 &\rho_1&\rho_2 & \mu_1 & \mu_2 & \mu_3\\
\rho_1& \rho_1& \rho_2& \rho_0 & \mu_3 & \mu_1 & \mu_2 \\
\rho_2& \rho_2& \rho_0 &\rho_1 & \mu_2 & \mu_3 & \mu_1\\
\mu_1 & \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 &\rho_0 &\rho_1&\rho_2\\
\mu_2 & \mu_2 & \mu_3 & \mu_1 &\rho_2 &\rho_0 &\rho_3\\
\mu_3 & \mu_3 & \mu_1 & \mu_2 &\rho_1&\rho_2&\rho_0 \end{array}$$
### Orden de los elementos:
#### Orden 1
$\rho_0$
#### Orden 2
$\mu_1, \mu_2, \mu_3$
#### Orden 3
$\rho_1,\rho_2$

### Subgrupos
#### Orden 2
$H_2 = \{\rho_0, \mu_1 \}, H_3 = \{\rho_0, \mu_2 \}, H_4 = \{\rho_0, \mu_3 \}$
#### Orden 3
$H_1 = \{ \rho_0, \rho_1,\rho_2\}$
#### Subgrupos normales
$\{ \rho_0, \rho_1,\rho_2\}$

# Orden 8

## $\mathbb{Z}_8 = \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$

$$\def\arraystretch{1.2} \begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 6 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 7 & 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{array}$$

## $D_4$ Movimientos del cuadrado
$G = \{\rho_0, \rho_1, \rho_2, \rho_3,\mu_1, \mu_2, \delta_1, \delta_2 \}$
Operación: composición
No es abeliano
$\rho$: rotaciones
$\mu$: reflexiones con el eje $x,y$
$\delta$: reflexiones diagonales

$$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|cccccccc} \circ &\rho_0 &\rho_1&\rho_2 & \rho_3 & \mu_1 & \mu_2 & \delta_1 & \delta_2 \\ \hline
\rho_0 &\rho_0 &\rho_1&\rho_2 & \rho_3 & \mu_1 & \mu_2 & \delta_1 & \delta_2\\
\rho_1& \rho_1& \rho_2& \rho_3 &\rho_0 & \delta_1 & \delta_2 & \mu_2 & \mu_1\\
\rho_2& \rho_2& \rho_3 & \rho_0 &\rho_1 &\mu_2 & \mu_1 & \delta_2 & \delta_1 \\
\rho_3 & \rho_3 & \rho_0 &\rho_1&\rho_2 & \delta_2 & \delta_1 & \mu_2 & \mu_1 \\
\mu_1 & \mu_1 & \delta_2 & \mu_2 & \delta_1 &\rho_0 &\rho_2&\rho_3 & \rho_1 \\
\mu_2 & \mu_2 & \delta_1 & \mu_1 & \delta_2 &\rho_2 &\rho_0 &\rho_1 & \rho_3 \\
\delta_1 & \delta_1 & \mu_1 & \delta_2 &\mu_2 & \rho_1 & \rho_3 & \rho_0 & \rho_2 \\
\delta_2 & \delta_2 & \mu_2 & \delta_1 &\mu_1 & \rho_3 & \rho_1 & \rho_2 & \rho_0
\end{array}$$ actúa primero la columna

### Notación como arreglos
$\quad\rho_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\quad\rho_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$, $\quad\rho_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\quad\rho_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\quad\mu_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$, $\quad\mu_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$, $\quad\delta_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$, $\quad\delta_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}$

### Subgrupos:
#### Orden 2
$H_1 = \{ \rho_0, \rho_2\}$
$H_2 = \{\rho_0, \mu_1 \}$
$H_3 = \{\rho_0, \mu_2 \}$
$H_4 = \{\rho_0, \delta_1 \}$
$H_5 = \{\rho_0, \delta_2 \}$
#### Orden 4
$H_6 = \{ \rho_0, \rho_1 ,\rho_2, \rho_3\}$, $H_6\cong \mathbb{Z}_4$
$H_7 = \{ \rho_0, \rho_2, \mu_1, \mu_2\}$, $H_7\cong V$
$H_8 = \{ \rho_0, \rho_2, \delta_1, \delta_2\}$

#### Subgrupos normales:
$\{ \rho_0\}, \; \{ \rho_0, \rho_2\}, \; \{ \rho_0, \rho_1 ,\rho_2, \rho_3\}, \; \{ \rho_0, \rho_2, \mu_1, \mu_2\}, \; \{ \rho_0, \rho_2, \delta_1, \delta_2\}$

## $Q_8$, cuaterniones
No es abeliano

Definición: $Q_8 = \langle a, b : \; a^4 = 1,\; b^2 = a^2 ,\; bab^{−1} = a^{−1}\rangle$
$$ Q_8 = \{1,\, a,\, a^2 ,\, a^3,\, b,\, ab,\, a^2 b,\, a^3 b\}$$

$$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|cccccccc}
\cdot & 1 & a & a^2 & a^3 & b & ab & a^2b & a^3b \\ \hline
1 & 1 & a & a^2 & a^3 & b & ab & a^2b & a^3b \\
a & a & a^2 & a^3 & 1 & ab & a^2b & a^3b & b \\
a^2 & a^2 & a^3 & 1 & a & a^2b & a^3b & b & ab \\
a^3 & a^3 & 1 & a & a^2 & a^3b & b & ab & a^2b \\
b & b & a^3b & a^2b & ab & a^2 & a & 1 & a^3 \\
ab & ab & b & a^3b & a^2b & a^3 & a^2 & a & 1 \\
a^2b & a^2b & ab & b & a^3b & 1 & a^3 & a^2 & a \\
a^3b & a^3b & a^2b & ab & b & a & 1 & a^3 & a^2 \\
\end{array}$$

### Subgrupos
#### Orden 2
$H_3 = \langle a^2 \rangle$
#### Orden 4
$H_4 = \langle a \rangle = \langle a ^3 \rangle$
$H_5 = \langle b \rangle = \langle a^2 b \rangle$
$H_6 = \langle ab \rangle = \langle a^3 b \rangle$
No puede haber subgrupos isomorfos a Klein, se necesitan 4 elementos que sean su propio inverso y sólo hay 2

## Equivalencias en el grupo de cuaterniones:

$$Q_8=\langle a,b:a^4=e,b^2=a^2,bab^{-1}\rangle$$

Podemos ver a [este grupo](https://hackmd.io/@grupos-en-grupito/SJLGBvrhT#Q_8-cuaterniones) como el producto de vectores normales en un espacio de 3 dimensiones $(i,j,k)$ donde hacemos la equivalencia $i=a,\ j=b,\ k=i\cdot j=a^3b$ y cuya gráfica presentamos a continuación:


Otra equivalencia que se puede plantear es concebir a $a$ y a $b$ como matrices, y la operación de los cuaterniones coincide con el producto usual de matrices:

$$A= \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},\ B= \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$$

### Notación $i, j, k$
$a =i, \quad a^2= i^2 = -1 , \quad a^3 = -i , \quad a^4 = 1, \quad b = j , \quad ab = i \cdot j = k , \quad a^2b = -j , \quad a^3b = -i \cdot j = -k$
$Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$
$Q_8$ se puede formar por el generado de $i,j$ porque $k$ es producto de ellos. Pero $Q_8$ NO es cíclico
#### Subgrupos
##### Orden 2
$H_1 = \{1, -1\} = \langle -1\rangle$
##### Orden 4
$H_2 = \{1, -1, i, j\} = \langle i \rangle$
$H_3 = \{1, -1, j, -j\} = \langle j \rangle$
$H_4 = \{1, -1, k, -k\} = \langle k\rangle$

### $Q_8 = \langle A,B \rangle$
$$A= \begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i\end{bmatrix} \quad B= \begin{bmatrix} 0 & i\\ i & 0\end{bmatrix}$$
$A^4=I, \quad B^2=A^2, \quad BAB^{-1}=A^{-1}$

# Orden 12
## $\mathbb{Z}_{12}$
$$\def\arraystretch{1.2}\begin{array}{c|cccccccccccc} + &0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 8 & 8 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 9 & 9 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 10 & 10 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 11 & 11 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$
## $G:=\langle a,b:a^6=e,a^3=b^2,bab^{-1}=a^{-1}\rangle$
$$\def\arraystretch{1.2}\begin{array}{c|cccccccccccc} &e & a & a² & a³ & a⁴ & a⁵ & b & ab & a²b & a³b & a⁴b & a⁵b \\ \hline e & e & a & a² & a³ & a⁴ & a⁵ & b & ab & a²b & a³b & a⁴b & a⁵b \\ a & a & a² & a³ & a⁴ & a⁵ & e & ab & a²b & a³b & a⁴b & a⁵b & b \\ a² & a² & a³ & a⁴ & a⁵ & e & a & a²b & a³b & a⁴b & a⁵b & b & ab \\ a³ & a³ & a⁴ & a⁵ & e & a & a² & a³b & a⁴b & a⁵b & b & ab & a²b \\ a⁴ & a⁴ & a⁵ & e & a & a² & a³ & a⁴b & a⁵b & b & ab & a²b & a³b \\ a⁵ & a⁵ & e & a & a² & a³ & a⁴ & a⁵b & b & ab & a²b & a³b & a⁴b \\ b & b & a⁵b & a⁴b & a³b & a²b & ab & a³ & a² & a & e & a⁵ & a⁴ \\ ab & ab & b & a⁵b & a⁴b & a³b & a²b & a⁴ & a³ & a² & a & e & a⁵ \\ a²b & a²b & ab & b & a⁵b & a⁴b & a³b & a⁵ & a⁴ & a³ & a² & a & e \\ a³b & a³b & a²b & ab & b & a⁵b & a⁴b & e & a⁵ & a⁴ & a³ & a² & a \\ a⁴b & a⁴b & a³b & a²b & ab & b & a⁵b & a & e & a⁵ & a⁴ & a³ & a² \\ a⁵b & a⁵b & a⁴b & a³b & a²b & ab & b & a² & a & e & a⁵ & a⁴ & a³\\ \end{array}$$