# Definición

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**Definición:** Sea G un conjunto no-vacı́o. Una **operación binaria** o ley de composición en $G$ es una función \begin{align*}
f : G \times G &\to G\\
(x,y) &\mapsto f(x,y)
\end{align*}
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Toma dos objetos de un conjunto y les asigna otro del mismo conjunto

:::danger
**Definición:** Un **grupo** es una pareja $(G, \ast)$ donde $G$ es un conjunto no-vacı́o y $\ast$ es una operación binaria \begin{align*}
\ast : G \times G &\to G\\
(u,v) &\mapsto u\ast v
\end{align*} tal que $\ast$ es:
1. asociativa
2. existe un elemento $e$ que actúa como neutro
3. todo elemento $a$ tiene inverso
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- el grupo es **abeliano** si además es conmutativa
- es **semigrupo** si es asociativa
- es **monoide** si es asociativa y tiene neutro

## Notación
- Aditiva
- Grupo: $(G, +)$
- Neutro: $0$
- Inverso de $a$ es $-a$
- Multiplicativa
- Grupo: $(G, \cdot)$
- Neutro: $1$
- Inverso de $a$ es $a^{-1}$

# Propiedades
- Puede haber distinto inverso a derecha e izquierda
- En un grupo sólo hay un elemento identidad.
- Sea $(G, \cdot)$ un grupo, si $x \in G$ el inverso de $x$ es único.
- Se tiene la ley cancelativa \begin{align*}
a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b=c\\
a \cdot b = c \cdot b \Rightarrow a=c
\end{align*}
- Sea $(G, \cdot)$ un grupo abeliano entonces $(a \ast b)^ n = a^n \ast b^n$
- Las ecuaciones lineales \begin{align*}
a \cdot x = b \\
x \cdot a = b
\end{align*} tienen única solución
- $(a^{-1})^{-1} = a, \forall a \in G$
- $(a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}$

:::info
**Teorema:** Sea $(G,\cdot)$ un conjunto con una ley de composición interna asociativa. $G$ es un grupo si y sólo si
1. $\exists e' \in G$ tal que $a ⋅ e′ = a, \quad \forall a \in G$
2. Para cada $a \in G$ existe $y \in G$ tal que $a \cdot y = e′$
:::spoiler *Demostración:*
- $\Rightarrow$ si $G$ es grupo automáticamente se tienen 1. y 2.:
$e'=e$ que es el inverso, para todo $a$ existe $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} = e = e'$

- $\Leftarrow$ si se tienen 1. y 2. entonces $G$ es grupo:
Como ya es asociativa falta que tenga neutro e inverso a izquierda, porque a derecha existe $y$
- Primero veamos que $y$ es también inverso a izquierda, esto es: $y\cdot a = e'$:
\begin{align*}
a\cdot y &=e'\\
y \cdot a\cdot y &= y \cdot e'\\
y \cdot a\cdot y &= y &e'\text{ es inverso a derecha para todo } a\in G\\
y \cdot a\cdot (y \cdot z) &= y \cdot z &\text{ existe $z$, el inverso a derecha de }y\\
y \cdot a\cdot e' &= e'\\
y \cdot a &= e'
\end{align*}
- Ahora veamos que $e'$ también es neutro a izquierda:
\begin{align*}
e'\cdot a &= (a\cdot y) \cdot a \\
&= a\cdot (y \cdot a) \\
&= a \cdot e'&\text{usando la propiedad anterior}\\
&= a &\text{porque existe el inverso a derecha}
\end{align*}

Se demuestra que 1. y 2. implican que $G$ es grupo y así se tienen ambas implicaciones.
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El teorema dual también se tiene (con inverso y neutro a izquierda). Es necesario que ambos existan ya sea a izquierda o a derecha, pero tener uno a izquierda y otro a derecha no garantiza que $G$ sea grupo

# Orden

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**Definición:** Sea $(G,\cdot)$ un grupo. Se llama **orden** del grupo y se denota $o(G)$ al cardinal de $G$.
Si $o(G)$ es finito se dice que $G$ es un **grupo finito**, en caso contrario $G$ se dice **grupo infinito**
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Sea $(G , ·, 1)$ un grupo y sea $a ≠ 1$ un elemento cualquiera de $G$. Se dice que $a$ es de periodo infinito si para cada entero positivo $n > 0$ se tiene $a^n ≠ 1$.
En notación aditiva tendremos que $a ∈ (G , +, 0)$, con $a \neq 0$ es de periodo infinito si $na ≠ 0$ para todo $n > 0$.

:::info
**Teorema:** Sea $(G,\cdot)$ un grupo no conmutativo, entonces $∣G∣\geq 6$.
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# Potenciación
Sea $a\in (G,\ast)$, $n \in \mathbb{N}$ se denota $a^n= a\ast \cdots \ast a$

## Propiedades
- Si un elemento está en el grupo, todas sus potencias están
- $a ^0 = e$
- $a^{-n} = (a^{-1})^n$
- $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
- $(a^n)^m= a^{nm}, \quad n,m \in \mathbb{Z}$