# Grupo alternante

::: danger
### Definición:
Una **transposición** es un $2$-ciclo. Se tiene que para todo ciclo $\alpha$ de longitud $k\geq2$, $\alpha$ se puede expresar como producto de transposiciones no necesariamente disyuntas. Esto es,
$$\begin{align*}
\alpha&=(a_1,a_2,...,a_k)\\&=(a_1,a_k)(a_1,a_{k-1})...(a_1,a_2)
\end{align*}$$
De lo que concluimos que un $k$-ciclo puede ser expresado como producto de $k-1$ transpocisiones diferentes.
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:::info
### Teorema:
Una permutación $\alpha$ puede expresarse como producto de un número par o un número impar de transposiciones, pero no ambas.
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:::danger
### Definición:
Una permutación se dice **par** si puede ser expresada como producto de un número par de transposiciones, análogamente se le dice **impar** si se puede expresar como producto impar de transpocisiones.
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:::danger
## Definición:
Al grupo de las permutaciones pares de $S_n$ se le conoce como **grupo alternante**, y se denota $A_n$.
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### Teorema:
Para todo $n\geq3$, $A_n$ es generado por $3$-ciclos.

:::spoiler *Demostración*:
Sabemos que todo $3$-ciclo $(a,b,c)$ puede ser factorizado como $(a,c)(a,b)$ y por tanto $(a,b,c)\in A_n,\ \forall n\geq3$. Ahora veamos que un ciclo $(a,b)(c,d)\in S_n$ puede ser escrito como un $3$-ciclo considerando los siguientes casos:
- **Todos $a,b,c,d$ diferentes:** Se tiene que $(a,b)(c,d)=(a,b,c)(b,c,d)$.
- **$a,b,c$ elementos diferentes:** Sin pérdida de generalidad supongamos que $a=d$ luego $(a,b)(c,d)=(a,b)(c,a)=(a,b)(a,c)=(a,c,b).$
- **$a,b$ distintos:** Tenemos que $(a,b)(a,b)=e=(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)$.
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