# Homomorfismos:

## Definición:
::: danger
Sean ($G,\cdot$) y ($G',\cdot'$) dos grupos, definimos un **homomorfismo** $\phi$ como una función $\phi:G\rightarrow G'$ tal que para todos $g_1,g_2\in G$ se tiene que $\phi(g_1\cdot g_2)=\phi(g_1)\cdot'\phi(g_2)$.
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## Kernel e imagen
:::danger
Así mismo tenemos 2 conjuntos importantes:
$Ker\ \phi:=\{g\in G: \phi(g)=e'\}$
$Img\ \phi:=\{g'\in G':\exists g\in G,\ \phi(g)=g'\}$
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- $\text{ker } \Phi$ es subgrupo normal de $G$
- $\text{Im } \Phi$ es subgrupo de $G'$
- $Φ^{−1}(g^′)$, es la imagen inversa de $g'\in G'$

## Ejemplos

- Sean $\mathbb{Z}_5$ y $\mathbb{Z}_{10}$ grupos abelianos con la suma. Un homomorfismo $\phi$ es:

$$\begin{align*}
\phi:\mathbb{Z}_5&\rightarrow\mathbb{Z}_{10}\\
x&\mapsto2x
\end{align*}$$

Donde $\phi$ es una función inyectiva pero no sobreyectiva. Este tipo de homomorfismos se denominan **monomorfismos**.

- Sean $D_4$ y $V$ con sus respectivas operaciones, $H=\{\rho_0,\rho_2,\mu_1,\mu_2\}\leq D_4$. Un homomorfismo es:

$$\begin{align*}
\phi:H&\rightarrow V\\
\rho_0&\mapsto e\\
\mu_1 &\mapsto a\\
\mu_2 &\mapsto b\\
\rho_2&\mapsto c
\end{align*}$$

Donde como $Ran(\phi)=V$, decimos $\phi$ es un **epimorfismo**. Como también es inyectiva, decimos que es un **isomorfismo**.

## Otros homomorfismos importantes:

#### Homomorfismo evaluación:

Trabajando en el anillo de polinomios $A[S]$, se define la siguiente función

$$
\begin{align*}
\phi_c:A[S]&\longrightarrow \mathbb{R}\\
p(x)&\mapsto p(c)
\end{align*}
$$

Y se puede demostrar que esta función representa un homomorfismo para toda $c\in\mathbb{R}$. Este homomorfismo se usa en la teoría de cuerpos.

#### Automorfismo:

Para un grupo cualquiera ($G,\cdot$), la función $\phi:G\rightarrow G$ donde $\phi(x)=x,\ \forall x\in G$ representa un isomorfismo entre $G$ y $G$.

#### Homomorfismo trivial:

Para cualesquiera dos grupos $G,\ G'$ existe al menos un homomorfismo $\phi$ tal que $\phi(x)=e',\ \forall x\in G$.

#### Homomorfismo canónico:

Sea $(G,\cdot)$ un grupo y $N\trianglelefteq G$, podemos definir el siguiente homomorfismo $\phi$:

$$\begin{align*}
\phi: G&\rightarrow\ ^G/_{N}\\
g&\mapsto Ng
\end{align*}$$

# Propiedades de homomorfismos:

- $\phi(e)=e'$
- $\phi(a^{-1})=[\phi(a)]^{-1}$
- $H\leq G\rightarrow\phi[H]\leq G'$
- $H'\leq G'\rightarrow \phi^{-1}[H']\leq G$
- $ker\ \phi\leq G$
- $ker\ \phi \trianglelefteq G$
- $\phi[G]\leq G'$
- $[(\phi(a)=\phi(b))\Leftrightarrow (a=b)]\Longleftrightarrow[ker\ \phi=\{e\}]$ es inyectivo si y sólo si $\text{ker } \Phi = {e}$

# Teorema Fundamental del Homomorfismo
:::info
**Teorema:** Sean $G$ un grupo y $\phi:G\rightarrow G'$ un epimorfismo, entonces existe un subgrupo normal $H$ tal que $H\cong G/H$. $H$ es precisamente el $Ker\ \phi$.
Recíprocamente, dado $H\trianglelefteq G$ es posible construir un epimorfismo de $G$ en $G/H$: el homomorfismo canónico.
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Recíprocamente, dado $H \unlhd G$ es posible construir un homomorfismo sobreyectivo de $G$ en $G/H$, el homomorfismo canónico.

$G/H$ se dice imagen homomorfa de $G$
Hay tantas imágenes homomorfas como subgrupos normales