La relación _ser subgrupo de_ determina un orden parcial

**Subgrupo maximal:** no contiene otro subgrupo además de $\{ e\}$

# Subgrupo generado
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**Definición:** Sea $G$ un grupo y $a_i \in G$ para $i \in I$. El menor subgrupo de $G$ que contiene $\{a_i : i\in I\}$ es el **subgrupo generado** por $\{a_i : i\in I\}$.
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Si este subgrupo es todo $G$, entonces $\{a_i : i\in I\}$ genera $G$ y las $a_i$ son generadores de $G$.
Si existe un conjunto finito $\{a_i : i\in I\}$ que genere $G$, entonces $G$ es **finitamente generado**.

Sea $(G, \cdot)$ un grupo, $\{H_i \}_{i\in I}$ una familia de subgrupos de $G$ y $X \subseteq G$ entonces:
- $\bigcap_{i \in I} H_i \leq G$ la intersección de la familia es un subgrupo
- $\langle X \rangle$ : es el subgrupo más pequeño que contiene a $X$
- $\langle X \rangle = \bigcap_{X\subseteq H, H\leq G} H$ : es la intersección de los subgrupos que contienen a $X$
- $\langle \varnothing \rangle = \{ e\} = 1$
- Si $G = \langle X \rangle$ y $X$ es finito, decimos que $G$ es **finitamente generado** _(f.g.)_

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**Teorema:** Si $G$ es un grupo y $a_i \in G$ para $i \in I$, entonces el subgrupo $H$ de $G$ generado por $\{a_i : i\in I\}$ consta precisamente de aquellos elementos de $G$ que son productos finifos de potencias de exponente entero de $a_i$, donde pueden presentarse varias veces potencias de alguna $a_i$ dada.
:::spoiler *Demostración:*
Sea $\textbf{K}$ es conjunto de todos los productos finitos de las potencias de las $a_i$. Como $H\leq G$, $\textbf{K}\subseteq H$. Por lo que basta con observar que $\textbf{K}$ es subgrupo y como $H$ es el subgrupo más pequeño que contiene a $\{a_i:i\in I\}$ se tendrá la igualdad:
- Como $(a_i)^0=e$ para cualquie $i\in I$, $e\in \textbf{K}$ y así $K\neq \emptyset$.
- Sean $a,b\in \textbf{K}$, queremos ver que $ab^{-1}\in\textbf{K}$:
Como $a,b\in \textbf{K}$, $a=(a_i)^n...(a_k)^p$, $b=(a_q)^t...(a_k)^f$ para algún producto finito de las potencias de los $a_i$. Así: $ab^{-1}=((a_i)^n...(a_k)^p)(a_k)^{-f}...(a_q)^{-t}$ que es un producto finito de potencias de los $a_i$, por lo que $ab^{-1}\in\textbf{K}$.
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:::info
**Proposición:** Sean $(G, \cdot)$ un grupo, $X \subseteq G$, $X \neq \varnothing$, entonces
$$\langle X \rangle = \{ x_1 ^{\epsilon _1} \cdots x_n ^{\epsilon _n} : x_i \in X, \epsilon _i \in \mathbb{Z}, n\geq 1 \}=:S$$ en notación aditiva: $\langle X \rangle = \{ k_1\cdot x_1 + \cdots + k_n \cdot x_n : x_i \in X, k_i \in \mathbb{Z}, n\geq 1 \}$
:::spoiler *Demostración:*
Por un argumento similar a la demostración del teorema anterior $S\leq G$ y es claro que $X\subseteq S$, por lo que se tiene que $\langle X \rangle\subseteq S$. Falta ver la otra contenencia y se concluirá la igualdad:
Como $\langle X \rangle=\bigcap_{X\subseteq H, H\leq G} H$ y $H$ es subgrupo, entonces $H$ contiene todas las potencias de los elementos de $X$, así $S\subseteq H$, para cada $H$ que contiene a $X$, por lo que $S\subseteq \langle X \rangle=\bigcap_{X\subseteq H, H\leq G} H$.
:::

Todos los $x_i$ son generadores de $X$
Los elementos de $S$ son productos finitos de las potencias de los elementos de $X$. En notación aditiva: suma de múltiplos

## Propiedades:
Sean $(G, \cdot)$ un grupo, $X \subseteq G$, $X \neq \varnothing$, entonces
$H \leq G \Leftrightarrow \langle H \rangle = H$
$X\subseteq Y \subseteq G \Rightarrow \langle X \rangle \leq \langle Y \rangle$
$\langle X \rangle \cup \langle Y \rangle \subseteq \langle X \cup Y \rangle, \quad X \vee Y := \langle X \cup Y \rangle$
$H \leq G \Rightarrow |H| \; \vert \;|G|$

# Congruencia

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**Definición:**</span> Sea $H\leq G$, $a,b \in G$. Decimos que $a$ es **congruente a derecha** con $b$, módulo $H$ si $ab^{−1} \in H$, escribimos $a \equiv _r b(\mod H)$

decimos que $a$ es **congruente a izquierda** con $b$ módulo $H$, $a \equiv _l b (\mod H)$, si $a^{−1} b \in H$.
:::
- En notación aditiva $a \equiv_r b(\mod H) \Leftrightarrow a-b \in H$
- Si $G$ es abeliano $a \equiv _r b(\mod H) \Leftrightarrow a \equiv _l b(\mod H)$

:::info
**Teorema:** $a \equiv _r b(\mod H)$ Es relación de equivalencia
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Genera una partición de $G$. Es decir que $G = \bigcup_{a\in G} Ha$ es una unión disjunta

## Clase lateral
### Clase lateral derecha: $[a]_r = Ha$
$$\begin{align*}
[a]_r &= \{x \in G \;∶\; x \equiv_r a( \mod H) \}\\
&= \{x \in G \;∶\; x \cdot a^{−1} \in H \}\\
&= \{x \in G \;∶\; x = ha \;\text{ para algún } h \in H \}\\
&= Ha
\end{align*}$$

### Clase lateral izquierda: $[a]_l = aH$
$$\begin{align*}
[a]_l &= \{x \in G \;∶\; x \equiv_l a( \mod H) \}\\
&= \{x \in G \;∶\; a^{−1} \cdot x \in H \}\\
&= \{x \in G \;∶\; x = ah \;\text{ para algún } h \in H \}\\
&= aH
\end{align*}$$

Todas las clases laterales de $H$ tienen el mismo número de elementos
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**Proposición:** Todas las clases de equivalencia determinadas por $\equiv$ tienen el mismo cardinal que el subgrupo $H$
:::spoiler *Demostración:*
Sea $a$ un elemento cualquiera de $G$. Entonces $[a] = H a$ y
la función $f : H a \to H$ , $f (xa) = x$, $x ∈ H$. Claramente $f$ es sobreyectiva. Supóngase que $f (xa) = f (ya)$, entonces $x = y$, y así $xa = ya$, con lo cual $f$ es inyectiva.
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Además, el número de clases laterales a izquierda es el mismo número de clases laterales a derecha: $$|\mathcal{R}| = |\mathcal{L}|$$ Donde $\mathcal{R}$ es el conjunto todas las clases laterales derechas y $\mathcal{L}$ es el conjunto de todas las clases laterales izquierdas

# Teorema de Lagrange

## Índice

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**Definición:** Sea $H\leq G$. El **ı́ndice** de $H$ en $G$, denotado por $[G ∶ H]$, es el cardinal del conjunto $\mathcal{R}$ o $\mathcal{L}$.
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Es el número de clases.
Existen grupos infinitos cuyos subgrupos diferentes de los triviales son todos de índice finito
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**Ejemplo:** $(\mathbb{Z}, +)$ es infinito, si $H=n\mathbb{Z}$ con $n \geq 0$ entero, se genera una partición con $n$ clases.

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:::info
**Teorema:** Si $K$, $H$, $G$ son grupos, con $K ≤ H ≤ G$, entonces $[G ∶ K] = [G ∶ H] \cdot[H ∶ K]$. Si dos de los ı́ndices son finitos, entonces el tercero lo es.
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:::info
**Teorema de Lagrange:**
Sea $G$ un grupo finito y sea $H$ un subgrupo cualquiera de $G$. Entonces, $o(H)\mid o(G)$
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**Corolario:**
- Si $H\leq G$ entonces $|G| = [G:H]\cdot|H|$. Equivalente a $[G:H] = \dfrac{|G|}{|H|}$
- Si $G$ es finito, para todo $a\in G$ el orden de $\langle a \rangle$ divide a $|G|$
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*Recíproco del Teorema de Lagrange*: Si $|G| = n$ y $d\mid n$ entonces existe $H\leq G$ tal que $|H|=d$
El recíproco se tiene si $G$ es cíclico