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title: KH基礎數學
tags: [GRE]

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# KH基礎數學
###### tags: `GRE`

## 作答方式
- `QVQVQ` or `VQVQV`
- 每個Q 20題 35min
    - 平均一題 1:40
    - 可以跳題作答
    - **!!!會寫的先做，不會就跳，等等回來做!!!**
- 記分題 40題
    - 題目會有難度等級 (1-5)
    - 錯等級低的容易扣較多分
- Q,V 滿分 170
    - Q 170: 錯題 0~1
    - Q 169: 錯題 2~3
- 3大主題
    - 算數
    - 代數
    - 幾何

## 題目類型
### 1. 數量比較題 (Quantitative Comparison questions)
- 出題率: 7~8題
- QA, QB 大小的關係
    - 不等式問題
    - 變數定義, 已知的前提
- 固定選項:
```
    (A) A>B
    (B) A<B
    (C) A=B
    (D) A,B不能比較
```
- 解題:
    1. 找到相同點
    2. 忽略相同點
        - 把兩邊都有的東西忽略掉
    3. 比較相異點
    ```
    e.g. QA: 4x+7y | QB: 5x+6y
    1. 找到相同點
        => 4x, 6y
    2. 忽略相同點 (兩邊刪掉相同項次)
        => QA: 1y | QB: 1x
    3. 比較相異點
        => QA: y | QB: x
    ANS: (D)無法比較
    ``` 
### 2. 單一選擇題 (Single-choice questions)
- 出題率: 7~8題
- 單選5選1
### 3. 多重選擇題 (Multiple-choice questions)
- 出題率: 1~2題
### 4. 填空題 (Numeric Entry questions)
- 出題率: 1~2題
- 電腦直接空格輸入數字
    - 分數可以不用化簡, 直接填入答案
- 有簡易的小算盤可以使用
### 6. 資料判讀 (Data Interpretation Sets)
- 出題率:固定考3題 (使用同一個圖表)
- 圖表問題
- 70%機率考: 漲跌幅題(至少一題)
    - Before -> After
        - (After - Before) / Before * 100%
    - 關鍵句: `What percent... greater than/ less then`
- 陷阱注意：取至小數點第X位
    - 關鍵句: `Give your answer to the nearest 0.1 ...`
```
e.g. nearest 0.1 -> 取至小數點第1位

Ans: 190 (X) -> 190.0 (V)
如果答案是整數, 要記得補上.0!!
```
## 數學類型
### 1. 算數
### 1-1 Integer
- +整數
- 0零
- -負整數
```
e.g. If x is nonnegative integer.
=> 非"負整數" => "整數"和"零"(要考慮到"0")
```
- xy > 0 同號
- xy < 0 異號

### 1-2 Factor and Multiple (因數 與 倍數)
- GRE因倍數問題只管“正整數”
    - e.g. 8的因數: ±1, ±2, ±4, ±8
        - GRE: 1,2,4,8
- divisor 餘數 == factor 因數
    - 直接當因數看
    ```
    a/b = c...d => a = b*c+d
    c: quotient 商
    d: remainder 餘 !!(只少會考一題餘數問題)
    ``` 
    - 1A2B餘數問題
    ```
    A ex: x÷17 = 3
    x 的可能值: 3, 20, 37... (相差17)
    除數17: 表達他的循環性
    => x = 17a+3
    
    B1 ex: 17÷x = ...(x-3), x≧3
    兩邊+3 => 20÷x = ...x (整除的意思)
    => x = 20a (x是20a的因數)

    B2 ex: 17÷x = ...3, x>3
    兩邊-3 => 14÷x = ...x (整除的意思)
    => x = 14a (x是14a的因數)
    ```
- GCF And LCM (最大公因數, 最小公倍數)
    - 最大公因數: Greatest common divisor/ Greatest common factor
    - 最小公倍數: Least common multiple
    ```
    e.g. 12, 18
    1. 找出質因數:
        12 = 2^2 * 3^1
        18 = 2^1 * 3^2
    2. 大因: 2^1 * 3^1 (找出兩數有的最小次方)
    3. 小倍: 2^2 * 3^2 (找出兩數有的最大次方)
    
    e.g. 18, 25
    1. 找出質因數:
        18 = 2^1 * 3^2
        25 = 5^2
    2. 大因: 2^0 * 3^0 * 5^0 = 1 (找出兩數有的最小次方)
    3. 小倍: 2^1 * 3^2 * 5^2 (找出兩數有的最大次方)
    
    e.g. x÷3= ...2 ; x÷5= ...1
    1. 一序列出來，找出共同的數字 => 11
        x÷3 = 2, 5, 8, 11... (3a+2)
        x÷5 = 1, 6, 11... (5a+1)
    2. 再來以循環性去找下一個
        => 3,5 最小公倍數 = 15
        => 11, 26, 41, 55....
    ```
- Odd and Even
    - 奇偶四則運算性質
    - 加減
        - 同屬性加減 -> 偶數
            - O±O=E
            - E±E=E
        - 不同屬性加減 -> 奇數
            - O±E=O
    - 乘
        - 有*偶數 -> 偶
            - O*O=O
            - O*E=E
            - E*E=E

### 1-3 Prime (質數)
- 最小的質數: 2
    - 也是唯一的偶數質數
- prime divisors 質因數
- prime factorization 質因數分解
    - e.g. x是8的倍數: 8 => 2x2x2
        - 思維：x身上至少有三個2
        - 關鍵句:
        ```
         x is divisible by 8
         8 is a factor of x
         x is a multiple of 8
         x/8 is an interger
         x÷8 is an interger
        ```
    - e.g. y is a multiple of 105
        - y -> 3, 5, 7
        - y身上有3, 5, 7
- 因數個數
```
I) 540"因數"個數為何？
1. 先做短除法，質因數分解
=> 540 = 2^2 x 3^3 x 5^1
2. 將所有項的次方+1相乘
=> (2+1) x (3+1) x (1+1)
=> 3 x 4 x 2 = 24
Ans: 24

II) 540有多少"質因數"？
=> 540 = 2^2 x 3^3 x 5^1
(忽略2的次方向: 怎麼乘都是偶數)
=> (3+1) x (1+1) = 4 x 2 = 8
Ans: 8
```

### 1-4 Fraction(分數)
- numerator 分子
- denominator 分母
- 真分數＆假分數
    - 真分數(分母>分子): `0~1`
    - 假分數(分母<分子): `>1`
    - 比大小問題:
        - e.g. 分子分母各+1
        - 真分數：$\dfrac{1}{2}$ => $\dfrac{1+1}{2+1}=\dfrac{2}{3}$
            - 會比原本**大**
        - 假分數：$\dfrac{2}{1}$ => $\dfrac{2+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}$
            - 會比原本**小**
- 固定(正整數)分子的大小比較關係：
    - 容易出現在"比較題"
    - 正整數 vs $\dfrac{正}{>1}$ => 右邊大
    - 正整數 vs $\dfrac{正}{0\sim1}$ => 左邊大
- 繁分數:
    - $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}\div\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{1}$

### 1-5 Exponent and Root (指數 與 開根)
- $a^b$
    - `a`: base 基數
    - `b`: power 次方數
- 指數律
    - $a^m*a^n = a^{m+n}$
    - $a^m\div a^n = a^{m-n}$
    - $(ab)^m = a^m*b^m$
    - $(\dfrac{a}{b})^m = \dfrac{a^m}{b^m}$
    - $(a^m)^n = a^{mn}$
    - $a^{-m} = \dfrac{1}{a^m}$
    - $a^0=1\ (a\ne0)$
    - $a^{\dfrac{n}{m}}\ = \sqrt[m]{a^n}$
    - 次方的分數是開根，負號是變成分母
- e.g.
    - 比大小(基數一樣)
        - base>1
            - $3^5 > 3^3$
            - $5 > \sqrt{5}$
        - 0<base<1
            - $0.3^5 < 0.3^3$ 
            - $0.5 < \sqrt{0.5}$
    - if f(k)=k^k, 當k=10^10時, f(k)有幾個零？
        - $(10^{10})^{10^{10}}=10^{10*10^{10}}=10^{10^{11}}$
        - Ans: `10^11`個零
- 分母有理化
    - 同乘分母，使用(a+b)(a-b)=a^2^-b^2^
    - $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
    - $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
### 1-6 Decimal
- 位數
    - Thousands, Hundreds, Tens, Units, Tenths, Hundredths, Thousandths
    - Units: 個位數
    - th: 小數點後面的單位加上th
- 有限小數(terminate decimal)
    - 小數點後的整數位為有限個
    - 最簡分數的分母質因數有2或5，則此分數可化為有限小數
### 1-7 Absolute value (絕對值)
- 概念: 兩點的距離
- |x| = |x-0|
    - x~原點的距離
- 絕對方程式、絕對不等式
    - 參考“基礎數學P.9”![](https://i.imgur.com/Rf9rVNM.png)
### 1-8 Ratio (比值)
- 關鍵句: the ratio of ==A== to ==B== = `A:B` = `A/B`
    - the ratio of... 比值
    - to => `:`,`÷` (直接看成`比`或是`除`)
### 1-9 Percent (百分比)
- 比值轉百分比: 比值*100%
- % = $\dfrac{1}{100}$
- 考試題型：漲(跌)幅問題
    - $\dfrac{Before - After}{Before}*100\%$
    - 如果是幅度: $\dfrac{\vert Before - After\vert}{Before}*100\%$
### 1-10 排列組合
- 階乘 -> 3! = 1*2*3
- 參考“基礎數學P.11”
- e.g.
    ```
    1) ABCD 四人排成一列，排法幾種？
    Ans: 4x3x2x1 => 4!

    2) ABCD 四人排成一列, 其中AB相鄰，排法幾種？
    解題方式：
    - 先解組內(有限制的部分先處理)
    - 再解組間
    1. 組內: AB相鄰 => 2!
    2. 組間: [AB]CD 有三組 => 3!
    Ans: 2!3!

    3) ABCD 四人排成一列, 其中AB"不"相鄰，排法幾種？
    關鍵字: 否定詞出現
    -> not = ALL - 肯定句
    -> at least one = ALL - None
    解題方式: 反向思考 => 全部機率 - 肯定句(AB相鄰)
    1. 全部機率: 4!
    2. AB相鄰: 2!3!
    Ans: 4! - 2!3!
    ```
- C m取n
    - 沒有取得前後順序之分
    ![](https://i.imgur.com/XV6K2P5.png)
    - e.g. 比大小題:
    $C^{8}_{5} = C^{8}_{x}$
    QA: $x$ vs QB: 4
    ```
    x = 5 or 3 <- 注意這個x是有兩種可能
    Ans: (D) 不可比較
    ```
- 先組合後排列問題:
    - e.g. 30人選2位掃廁所: $C^{30}_2$
    - e.g. 30人選2位掃廁所,選一個組長
        - 先組合: $C^{30}_2$
        - 後排列(選組長機率): 2!
        - Ans: $C^{30}_2 2!$
### 1-11 Probability 機率
- 公式:
$機率=\dfrac{有興趣事件方法數(題目重點)}{所有方法數(by情境)}$
- 獨立事件
    - keyword: ==independent==
    - $P(A\ and\ B)=P(A)*P(B)$
        - 同時發生 = 個別發生，再相乘
- 關鍵句(反向詞)
    - ==not==... => `prob = ALL - 肯定句`
    - ==at least one==... => `prob = 1 - None`

### 1-12 Basic Statistics
- mean (Average) 
    - $平均=\dfrac{總和}{數據的規模}$
- Median (中位數)
    - 找中位數的方法:
        - 奇數個數: 就是正中間那個
            - e.g. 67 => 左33 -> 34 <-右33 => 第34個
        - 偶數個數: 最靠近中間的那兩個/2
            - e.g. 66 => 左33 | 右33 => 第33, 34
- Standard Deviation 
    - 標準差(指分散程度)
        - 越大: 數據分散
        - 越小: 數據集中 (min=0)
    - 公式: $(每個數字-mean)^2的加總$
    - 數據同加減同數 -> S.D.不變
    - 數據同乘除同數 -> S.D.同乘除(取整數)
    - e.g. QA: 2,3,3,4 | QB: 2,2,4,4 比較兩數的S.D.
        - QA的3,3 <-比較集中
        - Ans: QA > QB
    - e.g. QA: 1,2,3 | QB: 11,12,13 比較兩數的S.D.
        - QA, QB兩個都是+1 +1... => S.D. 一樣
        - Ans: QA = QB
- Range (全距)
    - 公式：$max - min$
- Mode (眾數)
    - 最多的數字
- Quartie (四分位數)
![](https://i.imgur.com/vYXgqfz.png)
    - Q1 = PR25 (25%)
    - Q2 = PR50 (50%)
    - Q3 = PR75 (75%)

### 1-13 Venn diagram 集合
- 排容原理: $A\cup B=A+B-A\cap B$
![](https://i.imgur.com/PZmZYOb.png)
- 交集: $A\cap B$ (and) => 1,2,3
- 聯集: $A\cup B$ (or) => 2
- e.g.
    - `A or B (or both)` -> 聯集
        - $A+B-A\cap B = 1,2,3$
    - `either A or B` -> 二選一
        - $A\cup B-A\cap B = 1,3$
    - `neither A nor B` -> 都不是
        - $ALL - A\cup B = 4$

### 2. 代數
### 2-1 Operations with Algebraic 代數運算
- 項(terms)
- 係數(coefficient)
- 常數項(constant)

### 2-2 Solvinig Linear Equations
- 一元一次方程式
    - 解題要點: 移項合併
- 二元一次方程式
    - 有無限多組解
    - 解題要點: 找出初始解, 再找循環性
    ```
    e.g. 7x+5y = 64
    1. 找出初始解
       x = 9 4 -1...
       y = 0 7 14... 
    2. 找循環性
       x => 每次-5
       y => 每次+7
    ```
- 二元一次聯立方程式
    - 加減消去法
        - 兩個連立方程式一起相加(減)

### 2-3 Solving Quadratic Equations 解二次方程式
- Decompositon (十字交乘法)
![](https://i.imgur.com/QhPslyK.png)
    - 1)驗證交叉相乘的和是否等於中間的項次
    - 2)平行提取出來方程式
    - 3)取得解
- Closed form of solution (公式解)
    - $ax^2+bx+c=0 \rightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
    - **解的數量**判斷
        - $b^2-4ac>0$ => 2 solution
        - $b^2-4ac=0$ => 1 solution
        - $b^2-4ac<0$ => 無解($\sqrt[2]{..}$ 裡面不會有負)
### 2-4 Solving Linear Inequalities 解線性不等式
- 解法重點: 在數線上找臨界點
- 不等式 vs 方程式
    - 不等式同乘時需要變號
    - e.g. -x>-3 vs -x=-x3 
        - -x>-3 =要變號=> x<3 
        - -x=-x3 =不須變號=> x=3
- 一元二次不等式
    - 解法: 數線解
![](https://i.imgur.com/DccomYV.png)
    - 1)畫出數線, 抓出臨界點(當x=的情況)
        - $x^2=9$ -> $x = \pm3$
    - 2)從右邊的區塊開始+,-,+...
    - 3)+的區塊-> 大於, -的區塊-> 小於
- 高次不等式
    - 偶次方-> 忽略 (因為是正數)
    - 奇次方-> 一次方 (有可能是負數)
    - e.g. $\text{if }x \ne \text{1,2}, (x-1)^3(x-2)^4<0$
        1. 偶數次方忽略 $\rightarrow (x-1)^3<0$
        2. 奇數次方改一次方 $\rightarrow (x-1)^1<0$
        3. 移項變號化簡 $\rightarrow x>1$
