# KH基礎數學
###### tags: `GRE`

## 作答方式
- `QVQVQ` or `VQVQV`
- 每個Q 20題 35min
- 平均一題 1:40
- 可以跳題作答
- **!!!會寫的先做，不會就跳，等等回來做!!!**
- 記分題 40題
- 題目會有難度等級 (1-5)
- 錯等級低的容易扣較多分
- Q,V 滿分 170
- Q 170: 錯題 0~1
- Q 169: 錯題 2~3
- 3大主題
- 算數
- 代數
- 幾何

## 題目類型
### 1. 數量比較題 (Quantitative Comparison questions)
- 出題率: 7~8題
- QA, QB 大小的關係
- 不等式問題
- 變數定義, 已知的前提
- 固定選項:

    (A) A>B
    (B) A<B
    (C) A=B
    (D) A,B不能比較

- 解題:
1. 找到相同點
2. 忽略相同點
- 把兩邊都有的東西忽略掉
3. 比較相異點

    e.g. QA: 4x+7y | QB: 5x+6y
    1. 找到相同點
        => 4x, 6y
    2. 忽略相同點 (兩邊刪掉相同項次)
        => QA: 1y | QB: 1x
    3. 比較相異點
        => QA: y | QB: x
    ANS: (D)無法比較

### 2. 單一選擇題 (Single-choice questions)
- 出題率: 7~8題
- 單選5選1
### 3. 多重選擇題 (Multiple-choice questions)
- 出題率: 1~2題
### 4. 填空題 (Numeric Entry questions)
- 出題率: 1~2題
- 電腦直接空格輸入數字
- 分數可以不用化簡, 直接填入答案
- 有簡易的小算盤可以使用
### 6. 資料判讀 (Data Interpretation Sets)
- 出題率:固定考3題 (使用同一個圖表)
- 圖表問題
- 70%機率考: 漲跌幅題(至少一題)
- Before -> After
- (After - Before) / Before * 100%
- 關鍵句: `What percent... greater than/ less then`
- 陷阱注意：取至小數點第X位
- 關鍵句: `Give your answer to the nearest 0.1 ...`

e.g. nearest 0.1 -> 取至小數點第1位

Ans: 190 (X) -> 190.0 (V)
如果答案是整數, 要記得補上.0!!

## 數學類型
### 1. 算數
### 1-1 Integer
- +整數
- 0零
- -負整數

e.g. If x is nonnegative integer.
=> 非"負整數" => "整數"和"零"(要考慮到"0")

- xy > 0 同號
- xy < 0 異號

### 1-2 Factor and Multiple (因數 與 倍數)
- GRE因倍數問題只管“正整數”
- e.g. 8的因數: ±1, ±2, ±4, ±8
- GRE: 1,2,4,8
- divisor 餘數 == factor 因數
- 直接當因數看

    a/b = c...d => a = b*c+d
    c: quotient 商
    d: remainder 餘 !!(只少會考一題餘數問題)

- 1A2B餘數問題

    A ex: x÷17 = 3
    x 的可能值: 3, 20, 37... (相差17)
    除數17: 表達他的循環性
    => x = 17a+3
    
    B1 ex: 17÷x = ...(x-3), x≧3
    兩邊+3 => 20÷x = ...x (整除的意思)
    => x = 20a (x是20a的因數)

    B2 ex: 17÷x = ...3, x>3
    兩邊-3 => 14÷x = ...x (整除的意思)
    => x = 14a (x是14a的因數)

- GCF And LCM (最大公因數, 最小公倍數)
- 最大公因數: Greatest common divisor/ Greatest common factor
- 最小公倍數: Least common multiple

    e.g. 12, 18
    1. 找出質因數:
        12 = 2^2 * 3^1
        18 = 2^1 * 3^2
    2. 大因: 2^1 * 3^1 (找出兩數有的最小次方)
    3. 小倍: 2^2 * 3^2 (找出兩數有的最大次方)
    
    e.g. 18, 25
    1. 找出質因數:
        18 = 2^1 * 3^2
        25 = 5^2
    2. 大因: 2^0 * 3^0 * 5^0 = 1 (找出兩數有的最小次方)
    3. 小倍: 2^1 * 3^2 * 5^2 (找出兩數有的最大次方)
    
    e.g. x÷3= ...2 ; x÷5= ...1
    1. 一序列出來，找出共同的數字 => 11
        x÷3 = 2, 5, 8, 11... (3a+2)
        x÷5 = 1, 6, 11... (5a+1)
    2. 再來以循環性去找下一個
        => 3,5 最小公倍數 = 15
        => 11, 26, 41, 55....

- Odd and Even
- 奇偶四則運算性質
- 加減
- 同屬性加減 -> 偶數
- O±O=E
- E±E=E
- 不同屬性加減 -> 奇數
- O±E=O
- 乘
- 有*偶數 -> 偶
- O*O=O
- O*E=E
- E*E=E

### 1-3 Prime (質數)
- 最小的質數: 2
- 也是唯一的偶數質數
- prime divisors 質因數
- prime factorization 質因數分解
- e.g. x是8的倍數: 8 => 2x2x2
- 思維：x身上至少有三個2
- 關鍵句:

         x is divisible by 8
         8 is a factor of x
         x is a multiple of 8
         x/8 is an interger
         x÷8 is an interger

- e.g. y is a multiple of 105
- y -> 3, 5, 7
- y身上有3, 5, 7
- 因數個數

I) 540"因數"個數為何？
1. 先做短除法，質因數分解
=> 540 = 2^2 x 3^3 x 5^1
2. 將所有項的次方+1相乘
=> (2+1) x (3+1) x (1+1)
=> 3 x 4 x 2 = 24
Ans: 24

II) 540有多少"質因數"？
=> 540 = 2^2 x 3^3 x 5^1
(忽略2的次方向: 怎麼乘都是偶數)
=> (3+1) x (1+1) = 4 x 2 = 8
Ans: 8

### 1-4 Fraction(分數)
- numerator 分子
- denominator 分母
- 真分數＆假分數
- 真分數(分母>分子): `0~1`
- 假分數(分母<分子): `>1`
- 比大小問題:
- e.g. 分子分母各+1
- 真分數：$\dfrac{1}{2}$ => $\dfrac{1+1}{2+1}=\dfrac{2}{3}$
- 會比原本**大**
- 假分數：$\dfrac{2}{1}$ => $\dfrac{2+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}$
- 會比原本**小**
- 固定(正整數)分子的大小比較關係：
- 容易出現在"比較題"
- 正整數 vs $\dfrac{正}{>1}$ => 右邊大
- 正整數 vs $\dfrac{正}{0\sim1}$ => 左邊大
- 繁分數:
- $\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}\div\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{1}$

### 1-5 Exponent and Root (指數 與 開根)
- $a^b$
- `a`: base 基數
- `b`: power 次方數
- 指數律
- $a^m*a^n = a^{m+n}$
- $a^m\div a^n = a^{m-n}$
- $(ab)^m = a^m*b^m$
- $(\dfrac{a}{b})^m = \dfrac{a^m}{b^m}$
- $(a^m)^n = a^{mn}$
- $a^{-m} = \dfrac{1}{a^m}$
- $a^0=1\ (a\ne0)$
- $a^{\dfrac{n}{m}}\ = \sqrt[m]{a^n}$
- 次方的分數是開根，負號是變成分母
- e.g.
- 比大小(基數一樣)
- base>1
- $3^5 > 3^3$
- $5 > \sqrt{5}$
- 0<base<1
- $0.3^5 < 0.3^3$
- $0.5 < \sqrt{0.5}$
- if f(k)=k^k, 當k=10^10時, f(k)有幾個零？
- $(10^{10})^{10^{10}}=10^{10*10^{10}}=10^{10^{11}}$
- Ans: `10^11`個零
- 分母有理化
- 同乘分母，使用(a+b)(a-b)=a^2^-b^2^
- $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
- $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
### 1-6 Decimal
- 位數
- Thousands, Hundreds, Tens, Units, Tenths, Hundredths, Thousandths
- Units: 個位數
- th: 小數點後面的單位加上th
- 有限小數(terminate decimal)
- 小數點後的整數位為有限個
- 最簡分數的分母質因數有2或5，則此分數可化為有限小數
### 1-7 Absolute value (絕對值)
- 概念: 兩點的距離
- |x| = |x-0|
- x~原點的距離
- 絕對方程式、絕對不等式
- 參考“基礎數學P.9”
### 1-8 Ratio (比值)
- 關鍵句: the ratio of ==A== to ==B== = `A:B` = `A/B`
- the ratio of... 比值
- to => `:`,`÷` (直接看成`比`或是`除`)
### 1-9 Percent (百分比)
- 比值轉百分比: 比值*100%
- % = $\dfrac{1}{100}$
- 考試題型：漲(跌)幅問題
- $\dfrac{Before - After}{Before}*100\%$
- 如果是幅度: $\dfrac{\vert Before - After\vert}{Before}*100\%$
### 1-10 排列組合
- 階乘 -> 3! = 1*2*3
- 參考“基礎數學P.11”
- e.g.

    1) ABCD 四人排成一列，排法幾種？
    Ans: 4x3x2x1 => 4!

    2) ABCD 四人排成一列, 其中AB相鄰，排法幾種？
    解題方式：
    - 先解組內(有限制的部分先處理)
    - 再解組間
    1. 組內: AB相鄰 => 2!
    2. 組間: [AB]CD 有三組 => 3!
    Ans: 2!3!

    3) ABCD 四人排成一列, 其中AB"不"相鄰，排法幾種？
    關鍵字: 否定詞出現
    -> not = ALL - 肯定句
    -> at least one = ALL - None
    解題方式: 反向思考 => 全部機率 - 肯定句(AB相鄰)
    1. 全部機率: 4!
    2. AB相鄰: 2!3!
    Ans: 4! - 2!3!

- C m取n
- 沒有取得前後順序之分
- e.g. 比大小題:
$C^{8}_{5} = C^{8}_{x}$
QA: $x$ vs QB: 4

    x = 5 or 3 <- 注意這個x是有兩種可能
    Ans: (D) 不可比較

- 先組合後排列問題:
- e.g. 30人選2位掃廁所: $C^{30}_2$
- e.g. 30人選2位掃廁所,選一個組長
- 先組合: $C^{30}_2$
- 後排列(選組長機率): 2!
- Ans: $C^{30}_2 2!$
### 1-11 Probability 機率
- 公式:
$機率=\dfrac{有興趣事件方法數(題目重點)}{所有方法數(by情境)}$
- 獨立事件
- keyword: ==independent==
- $P(A\ and\ B)=P(A)*P(B)$
- 同時發生 = 個別發生，再相乘
- 關鍵句(反向詞)
- ==not==... => `prob = ALL - 肯定句`
- ==at least one==... => `prob = 1 - None`

### 1-12 Basic Statistics
- mean (Average)
- $平均=\dfrac{總和}{數據的規模}$
- Median (中位數)
- 找中位數的方法:
- 奇數個數: 就是正中間那個
- e.g. 67 => 左33 -> 34 <-右33 => 第34個
- 偶數個數: 最靠近中間的那兩個/2
- e.g. 66 => 左33 | 右33 => 第33, 34
- Standard Deviation
- 標準差(指分散程度)
- 越大: 數據分散
- 越小: 數據集中 (min=0)
- 公式: $(每個數字-mean)^2的加總$
- 數據同加減同數 -> S.D.不變
- 數據同乘除同數 -> S.D.同乘除(取整數)
- e.g. QA: 2,3,3,4 | QB: 2,2,4,4 比較兩數的S.D.
- QA的3,3 <-比較集中
- Ans: QA > QB
- e.g. QA: 1,2,3 | QB: 11,12,13 比較兩數的S.D.
- QA, QB兩個都是+1 +1... => S.D. 一樣
- Ans: QA = QB
- Range (全距)
- 公式：$max - min$
- Mode (眾數)
- 最多的數字
- Quartie (四分位數)
- Q1 = PR25 (25%)
- Q2 = PR50 (50%)
- Q3 = PR75 (75%)

### 1-13 Venn diagram 集合
- 排容原理: $A\cup B=A+B-A\cap B$
- 交集: $A\cap B$ (and) => 1,2,3
- 聯集: $A\cup B$ (or) => 2
- e.g.
- `A or B (or both)` -> 聯集
- $A+B-A\cap B = 1,2,3$
- `either A or B` -> 二選一
- $A\cup B-A\cap B = 1,3$
- `neither A nor B` -> 都不是
- $ALL - A\cup B = 4$

### 2. 代數
### 2-1 Operations with Algebraic 代數運算
- 項(terms)
- 係數(coefficient)
- 常數項(constant)

### 2-2 Solvinig Linear Equations
- 一元一次方程式
- 解題要點: 移項合併
- 二元一次方程式
- 有無限多組解
- 解題要點: 找出初始解, 再找循環性

    e.g. 7x+5y = 64
    1. 找出初始解
       x = 9 4 -1...
       y = 0 7 14... 
    2. 找循環性
       x => 每次-5
       y => 每次+7

- 二元一次聯立方程式
- 加減消去法
- 兩個連立方程式一起相加(減)

### 2-3 Solving Quadratic Equations 解二次方程式
- Decompositon (十字交乘法)
- 1)驗證交叉相乘的和是否等於中間的項次
- 2)平行提取出來方程式
- 3)取得解
- Closed form of solution (公式解)
- $ax^2+bx+c=0 \rightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
- **解的數量**判斷
- $b^2-4ac>0$ => 2 solution
- $b^2-4ac=0$ => 1 solution
- $b^2-4ac<0$ => 無解($\sqrt[2]{..}$ 裡面不會有負)
### 2-4 Solving Linear Inequalities 解線性不等式
- 解法重點: 在數線上找臨界點
- 不等式 vs 方程式
- 不等式同乘時需要變號
- e.g. -x>-3 vs -x=-x3
- -x>-3 =要變號=> x<3
- -x=-x3 =不須變號=> x=3
- 一元二次不等式
- 解法: 數線解
- 1)畫出數線, 抓出臨界點(當x=的情況)
- $x^2=9$ -> $x = \pm3$
- 2)從右邊的區塊開始+,-,+...
- 3)+的區塊-> 大於, -的區塊-> 小於
- 高次不等式
- 偶次方-> 忽略 (因為是正數)
- 奇次方-> 一次方 (有可能是負數)
- e.g. $\text{if }x \ne \text{1,2}, (x-1)^3(x-2)^4<0$
1. 偶數次方忽略 $\rightarrow (x-1)^3<0$
2. 奇數次方改一次方 $\rightarrow (x-1)^1<0$
3. 移項變號化簡 $\rightarrow x>1$