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title: 交大 108 數學

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# 交大 108 數學
1. rank = 3, nullity = 1
2. $A^2+I=O\rightarrow A^2=-I\rightarrow det(A)=\pm i$, A 不可能是實矩陣
3. a.
    - f(x) = 0 = $0e^x+0e^{2x}+0e^{3x}\in V$
    - $\forall f, g\in V, cf+g=c(a_1e^x+b_1e^{2x}+c_1e^{3x})+(a_2e^x+b_2e^{2x}+c_2e^{3x})=\\(ca_1+a_2)e^x+(cb_1+b_2)e^{2x}+(cc_1+c_2)e^{3x}\in V$
V 為 subspace 

    b. 
    - 根據 V 的定義，可知 $span\{e^x$, $e^{2x}$, $e^{3x}\}=V$。因此只需證明三個函數彼此線性獨立。要怎麼證明？好問題，我還沒想到...
    
    c. $B'=\begin{pmatrix}1&0&-2\\1&1&2\\0&3&1\end{pmatrix}B=AB$
    - A 的特徵值不為 0，A 有反矩陣，因此可知 $B=A^{-1}B'$，B 可由 B‘ 組合出來，而 b 已經證明 B 是基底了，因此 B' 為 V 的生成集。而 B' 的大小跟 B 一樣，因此 B' 必為基底。
    
4. a. $Q=\begin{pmatrix}0.5&-0.5&-0.5\\0.5&0.5&-0.5\\0.5&-0.5&0.5\\
0.5&0.5&0.5\end{pmatrix}$
    b. $R=\begin{pmatrix}2&-2&-1\\0&4&3\\0&0&6\end{pmatrix}$
    c. $x=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}7\\3\\4\end{pmatrix}$
    
5. a. C
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$C=I+\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&-2\end{pmatrix}$，可看出 C 的特徵值為 1,1,0。C 為投影矩陣
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b. $(e-1)C+I$
:::info
用帶餘除法
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6. ac
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bd. x 小於 1 成立
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7. a. No, p = 1, q = 1, r = 0
    b. No, p = 0, q = 1, r = 0
    c. Yes

8. YNNY
9. a. m
    b. 2m(n-1)
10. $2^n\binom{n}{k}$
11. a. 40
    b. 6
    c. $4^{n-2}$
:::info
$a_n=3a_{n-1}+3a_{n-2}+4^{n-2}$
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