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title: 成大 100 數學
tags: [NCKU, 數學, '100']

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# 成大 100 數學
###### tags: `NCKU` `100` `數學`
## 線代
都是基本題

## 離散
1. 不會
2. (a) $(\frac{1}{1-2x})^7 = (1+2x + 2^2x^2+...)^7$ 
    $2^5x^5$ 的係數為 $c_1 + c_2 + c_3 +...+c_7 = 5$ 的解: $\binom{11}{5}$

    (b) 相當於將 15 顆球放進 20 個箱子、且沒有一個箱子為空的方法數。但這是不可能的，方法數為 0
    
    \(c\) invertible function 必須為 one-to-one 且 onto，總共 $6!$
    (d) $\frac{1}{3-x}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{x}{3}}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{3}x+(\frac{1}{3})^2x^2+...$
    此題選 (D)
3. $S(k)\rightarrow S(k+2)\equiv \ !S(k)\vee S(k+2)$ 
    \(c\) $\exists nS(2n)\rightarrow \forall n S(2n+2)\equiv ![\exists n S(2n)]\vee \forall n S(2n+2)\equiv \forall n !S(2n)\vee \forall n S(2n+2)$
    要不所有非負偶數 $n$ 滿足 $!S(n)$，要不所有正偶數 $n$ 滿足 $S(n)$，不管是哪個，$\forall n [!S(n)\vee S(n+2)]$ 皆為真
    此題選 (E)

4. $a_n = 4a_{n-1} + 5^{n-1} - a_{n-1}$
5. 麻煩的地方在於有兩個 $P$
    令 $D_n$ 為 $n$ 個相異元素的錯排數
    令 $P_n$ 為兩個相同、$n-2$ 個相異元素的錯排數
    
    最後一個位置只能擺 $LATO$ 其中一個。假設為 $L$ 好了，接著考慮以下兩種情形:
    (1) 如果把其中一個 $P$ 擺在 $L$ 原本的位置:
    $$ P????L$$
    則問題變成 $4$ 個相異元素的錯排
    (2) 如果 不把 $P$ 擺在 $L$ 原本的位置，則問題變為 2 個相同 3 個相異的錯排數，即 $P_5$
    可得到以下遞迴式:
    $$P_n = (n-2)(D_{n-2} + P_{n-1})$$
    其中 $P_3 = 0$
    把遞迴爆開:
    $$P_6 = 4(D_4 + P_5)\\
    P_5=3(D_3+P_4)\\
    P_4=2(D_2+P_3)$$
$P_3=0, D_2=1, D_3=2, D_4=9$ 代進去，得 $P_6=84$
    