# 台大 99 數學
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1. (-5, 3, 2)
2. $\frac{21}{22}$
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$A=\begin{pmatrix}2&1&1&1&1&1\\2&3&2&2&2&2\\3&3&4&3&3&3\\4&4&4&5&4&4\\5&5&5&5&6&5\\6&6&6&6&6&7\end{pmatrix}=I+\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}=I+uv^T$

$(I+uv^T)u=u+uv^Tu=(1+v^Tu)u=22u$

u 是 A 的特徵向量，特徵值為 22
x = $\frac{1}{22}u$
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3. $(2+\sqrt{3},2-\sqrt{3})$
4. 2
5. 4
6. -12
7. $\frac{3}{16}$
:::info
$Au=(I+uu^T)u=u+uu^Tu=16u$
u 是 A 的特徵向量，特徵值為 16
u 也是 $A^{-1}$ 的特徴向量，特徵值為 $\frac{1}{16}$
$u^TA^{-1}u=\frac{1}{16}u^Tu=\frac{3}{16}$
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8. $(\frac{1}{6},-\frac{5}{6})$
9. 314
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$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&5\\1&10\\1&15\\1&20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}$
可藉由 [AB & BA 有相同非零特徵值](https://ccjou.wordpress.com/2016/01/04/ab-%E8%88%87-ba-%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82%EF%BC%9A%E7%89%B9%E5%BE%B5%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%AF%87/)的這個性質，算出 A 的特徵多項式為 $x^3(x^2-65x-250)$。令 a,b 為 $(x^2-65x-250)$ 的解。
因此 A-I 的特徵值為 a-1, b-1, -1, -1, -1
乘起來是 -(ab-(a+b)+1), ab=-250, a+b=65
代進去得 314
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10. $3+4cos(\frac{1}{7}\pi)$
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[Tridiagonal toeplitz matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix#Eigenvalues)
這東西上次考是 101 年。將近十年都沒再出現過了。
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11. abd
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c. transitive closure
e. Boolean algebra 的大小必須為 2 的次方
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12. bce
:::info
a. 要滿足消去律，R 必須至少是 integral domain
d. 那個叫 homomorphism
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13. be
:::info
a. 44
c. $\binom{15}{3}-\binom{4}{1}\binom{9}{3}+\binom{4}{2}\binom{3}{3}=125$
d. 遞迴式為: $a_n=3a_{n-1}+5^{n-1}$, 解遞迴後得 $a_8=\frac{3^8+5^8}{2}$
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14. abcde
15. (a) 因為 u 和 v 之間沒邊，所以 $S, T\subseteq\{v_2,v_3,...,v_{|V|-1}\}$, $S\cup T\subseteq \{v_2,v_3,...,v_{|V|-1}\}$, $|S\cup T| \lt |V|$
(b)