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title: 台大 109 數學
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# 台大 109 數學
###### tags: `NTU` `109` `數學`
1. $(\frac{x^a-x^{b+1}}{1-x})^n$
2. $(i^j)^{(n^m)}$
3. 330
4. $a_n=\frac{7}{4}3^n-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}$
5. $\frac{\frac{-1}{2}}{(1-x)^2}+\frac{\frac{1}{4}}{1-x}+\frac{\frac{7}{4}}{1-3x}$
6.
首先證明 $\binom{n}{i}\lt \binom{n}{j}\ ,\ i\lt j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$
對於 k=2 時，$\binom{2}{0}\lt \binom{2}{1}$ 成立。
假設對於所有 $k\lt n$ 皆成立。
則 k = n 時，對於所有 $i\lt j\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，我們有：
$\binom{n}{i}=\binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i}$
根據歸納法假設，$\binom{n-1}{i-1}\lt \binom{n-1}{j-1}$ 且 $\binom{n-1}{i}\lt \binom{n-1}{j}$
則 $\binom{n}{i}\lt \binom{n-1}{j-1}+\binom{n-1}{j}=\binom{n}{j}$
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嚴謹一點，應該要分奇偶。但我懶。
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根據上述證明，可得 $2^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\le \sum \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}=n\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}$

7. a=8,b=1,c=7,d=0,e=2
8. 2,1,1,0,1
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這題是在問 $BB^T$ 的特徵值。可先求比較好算的 $B^TB$ 的特徵值，得 0,1,2,4，所以 $BB^T$ 的特徵值為 0,0,1,2,4。之後再確認一下 0 的幾何重數為 2 即可。
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9. 0,0,10,2,2
:::info
$B\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&-1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}$
得 $B=\begin{pmatrix}2&1&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\2&1&0&1\end{pmatrix}$
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10. 1,2,16,1,0
:::info
應該可以用 SVD 慢慢算？反正我覺得用湊的最快。

$B=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\-2&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}$
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11. 12, 2, 0, 2, 0
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$J=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}$
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