# 成大 108 數學
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1. $$\lambda_0=c_0+c_1+c_2+c_3\\\lambda_1=c_0-ic_1-c_2+ic_3$$
2. (a)$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\frac{-1}{2}&1&0&0\\0&\frac{-2}{3}&1&0\\0&0&\frac{-3}{4}&1\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\0&\frac{3}{2}&-1&0\\0&0&\frac{4}{3}&-1\\0&0&0&\frac{5}{4}\end{pmatrix}$
(b) $A$ 對稱且所有領先主子陣的特徵值皆大於0
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[正定矩陣的性質與判別方法](https://ccjou.wordpress.com/2009/12/14/%e6%ad%a3%e5%ae%9a%e7%9f%a9%e9%99%a3%e7%9a%84%e6%80%a7%e8%b3%aa%e8%88%87%e5%88%a4%e5%88%a5%e6%96%b9%e6%b3%95/)
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3. (a)$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&c+1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$
(b) 令 $B = A^{-1}CA$。因為 $B$ 對稱，所以 $B$ 的特徵值必為實數，$B$ 的特徵方程式必為全實數解。
因為 $B$ 和 $C$ 相似，所以 $B$ 和 $C$ 有相同的特徵方程式，因此 $C$ 的特徵方程式必為全實數解。
4. (a) reflexive, antisymmetric, transitive
(b)

c b
/ \ /
a e
\ /
d
\(c\) $(a, b), (a, e), (b, c)$
5. $$
a_n=\frac{1}{2}[(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n+(-1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^n)]\\
b_n=\frac{1}{2}[(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n]
$$
:::info
$$\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{pmatrix}=\\\frac{1}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}&1-\sqrt{3}\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2+\sqrt{3}&0\\0&2-\sqrt{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1+\sqrt{3}\\-1&1+\sqrt{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{pmatrix}$$
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6. (a) 8, $\{a,b,d,e\},\{f,g,i,j\}$
(b) 15, $\{a,b,c,d,e\},\{f\}$