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title: 台大 103 數學
tags: [NTU, '103', 數學]

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# 台大 103 數學
###### tags: `NTU` `103` `數學`

1. 120
2. $\binom{r-1}{r-n}$
3. $4^{2^m}$
4. $\frac{-ln(1-x)}{1-x}$
:::info
$$
x+(1+\frac{1}{2})x^2+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})x^3+...=\\
(x+x^2+x^3+...)+\frac{1}{2}(x^2+x^3+...)+\frac{1}{3}(x^3+...)=\\
\frac{x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+...}{1-x}
$$

再來是推導 $x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+...$ 的生成函數

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...$
兩邊同時積分
$-ln(1-x)=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+...$
代回上式得 $\frac{-ln(1-x)}{1-x}$
:::
5. $\frac{1}{3}[2^n-(-1)^n]$
6. cfjgda
7.
(a) 
- 令 $a_1=a_2=a_3=...=a_n=0$ 即可得出 $0\in span(S)$
- 對於任意 $v=\sum_{i=1}^{n}a_ix_i,u=\sum_{i=1}^{n}b_ix_i$, $cv+u=c\sum_{i=1}^{n}a_ix_i + \sum_{i=1}^{n}b_ix_i=\sum(ca_i+b_i)x_i\in span(S)$

(b)
對於任意 $\sum a_ix_i \in span(S)$，因為 $S\subseteq U$，又 $U$ 是子空間，因此$\sum a_ix_i \in U$，得 $span(S)\subseteq U$

\(c\) 這一題的陳述 "span(S) is the unique subspace of V s.t. any subspace of V containing S has to contain span(S)" 是錯的，錯在 span(S) 不是 unique。舉例如下：
令 $S = \{x_1,x_2,x_3,x_4\}$，則任意包含 S 的子空間同時也包含了 $span(\{x_1\})$，或是 $span(\{x_1,x_2\})$ 等等。並不會只包含 span(S)
:::info
我覺得他是應該是想考 「span(S) 是所有包含 S 的子空間中，最小的子空間」這個概念，不知道為什麼出成這種四不像的題目。

題目或許該改成 “span(S) is the unique subspace ***which contains S*** s.t. any subspace of V...”
:::
8.
(a) V
(b) (8,2,3)
\(c\) 28
(d) m
(e) 0,1,2,3,4,5

9. $A^{101}=A,A^{-100}=I$
:::info
這題如果嫌算特徵值麻煩的話，可以這樣拆：
$\begin{pmatrix}-1&-2&-2\\1&2&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}+I=\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}+I=N+I$
N 的特徵值可以用看的，0,0,-2。因此 N + I 的特徵值為 1,1,-1，可知 A 為鏡射矩陣
:::

10. $\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}$

11. 3,2,1,-1