# 台大 110 數學
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1. odd / 2
2. $log_{2}{3}$
3. $\frac{2}{n}\binom{2n-2}{n-1}$
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題目要求 "returns to the origin the first time after exactly 2n steps": 在 2n 步之後回到原點，而且必須是「第一次」回到原點

換句話說，在走滿 2n 步之前，都不能碰到原點。所以答案不會只是簡單的 $\binom{2n}{n}$

往左往右各走 n 步，且不會越過原點的方法數，剛好是第 n 個卡特蘭數 (參閱：[Lattice path and catalan number](https://bayer.ku.edu/pub/preprints/pill.pdf))

所以可以先往右一步，然後在[1, n]之間來回，最後再回到原點，方法數為第 n - 1 個卡特蘭數。

因為還可以往左，所以答案是 $2C_{n-1} = \frac{2}{n}\binom{2n-2}{n-1}$
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4. $A = n+1, B=m+1$
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把 $\binom{m}{m}$ 換成 $\binom{m+1}{m+1}$ 然後跟後一項合併即可
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5. [lagrange's theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_theorem_(group_theory))
7. (a) 4, 5
(b) 2
7. $\frac{-1}{a_0}(A^{r-1}+a_{r-1}A^{r-2}+a_{r-2}A^{r-3}+...+a_2A+a_1I)$
8. $2, 2, 4, 4, 5$
9. (a) $(A+B)^{-1} = (B^2A^{-3}-BA^{-2}+A^{-1})$。True
:::info
簡單來講，就是用湊的
因為 $B^3=O$，自然會想在右邊乘乘看一個 $B^2$ :
$$
(A+B)B^2 = AB^2=B^2A
$$
那個 $A$ 很礙事，所以把他消掉:
$$
(A+B)B^2A^{-1} = AB^2A^{-1}=B^2AA^{-1}=B^2
$$
那個 $B^2$ 也很礙事，消掉:
$$
(A+B)(B^2A^{-1}-B) = B^2-B^2-AB=-AB
$$
$AB$ 很礙事，反正礙事的都消掉
$$
(A+B)(B^2A^{-1}-B+A)=-AB+BA+A^2=A^2
$$
同乘 $A^{-2}$，右邊會變成 $I$:
$$
(A+B)(B^2A^{-1}-B+A)A^{-2}=I
$$
無聊又煩人的題目
:::
(b) 其實我看不太懂他在寫什麼...但好像沒有 $0$，所以應該是錯的?
\(c\) T
(d) 有同樣的特徵值，但未必有同樣的特徵向量，False
(e) $A=2I, B=I, rank(A-B)=3, rank(A)-rank(B)=0$，False
10. (a) 轉換矩陣為:
$$\begin{pmatrix}
0 & -1\\1&0
\end{pmatrix}
$$
特徵值為 $\pm i$
(b) $0$ 沒有映射到 $0$，False
\(c\) T
(d) 如果只有一列的話是 true，如果有很多列的話是 false。這邊的意思看起來是有很多列，應該是 false ?
(e) T