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title: 台大 102 數學
tags: ['102', NTU, 數學]

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# 台大 102 數學
###### tags: `NTU` `102` `數學`

1. $R=\{\{1,2\},\{2,1\},\{1,1\}\}$，滿足symmetric & transitive，但不滿足 reflexive
:::info
必須加上這個條件，命題才會成立： $\forall x\exists y\in A\ s.t. (x,y)\in R$
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2. 可行的字串有:
- 0.........
- (1|2)0........
- (12|21)0.......
- (121|212)0......
- (1212|2121)0.....
- (12121|21212)0....
以此類推。
可得遞迴式 $a_n=a_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}2a_i$
消一消可得 $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$

3. (a) 1 (b) $\binom{n}{2}$
4. n 個點的圖，度數可能為 1,2,...,n-1，根據鴿籠原理，必有兩個點的度數重複
5. $H\cap K=W$ 也是一個 subgroup。根據拉格朗日定理，|W| 整除 |H| 且 |W| 整除 |K|。因此 |W| 整除 gcd(|H|,|K|) = 1，可得 |W|=1
而根據群的定義，W 只會有 e

6. 24
7. 那個符號我打不出來不過這題很簡單所以就這樣吧
8. (a) ker(T)=$\{A | A=-A^T\}$ (b) $(\frac{n(n-1)}{2},\frac{n(n+1)}{2})$
9. $(\prod_{1\le i\le n}a_i)(\prod_{1\le i\le j\le n}(a_j-a_i))$
:::info
[特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣](https://ccjou.wordpress.com/2009/12/22/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9F%A9%E9%99%A3-%E5%85%AB%EF%BC%9Avandermonde-%E7%9F%A9%E9%99%A3/)
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10. $\frac{1-(\frac{-1}{2})^k}{3}$
11. (a)
12. (a)(b)\(c\)