# 台大 104 數學

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1. (a)(d)
2. 5
3. $3^n$
4. 32
5. $\prod _{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^i}$ 中 $x^{r-\frac{n(n+1)}{2}}$ 的係數
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令 $y_1 = x_1+1,y_2=x_2+2...$，以此類推

可得 $y_1+ y_2+...+y_n=r-\frac{n(n+1)}{2}$, $0\le y_1\le y_2\le y_3\le ... \le y_n$

因為必須由小排到大，所以只需關心不同的數有幾個。

假設 1 有 $a_1$ 個，2 有 $a_2$ 個，以此類推

則答案為 $a_1+2a_2+3a_3+...+na_n=r-\frac{n(n+1)}{2}$ 的解數量

寫成生成函數的形式：
$$
(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)...=
\prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{1-x^i}
$$
所求即為 $x^{r-\frac{n(n+1)}{2}}$ 的係數
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6. $2^n+3^n$
7. (a)
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(b) 內積的定義其中之一是$<x, x>$ 必須為正實數 ($x\ne 0$)，這題所定義的內積的確不滿足這個條件。但(b)敘述的是「任意」兩個向量的內積均不能為複數，這完全是另外一回事。所以 (b) 不選
(d) 內積滿足：$<x, cy+z>=\bar{c}<x,y>+<x,z>$，在複數域下，不為線性函數。
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8. 2
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$AB=O$ 代表 B 的行向量 $\in N(A)$，因此 B 最大 rank $\le dim(N(A))$
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9. 8
10. 無解
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那五個矩陣構成的向量空間維度為 4，這代表 $B_1, B_2$ 展開的向量空間不在 $V$ 裡
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11. $\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}$