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title: 台大 100 數學
tags: [NTU, 數學, '100']

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# 台大 100 數學
###### tags: `NTU` `100` `數學`
1. 1
2. $\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}$
3. (6, 5)
4. $\frac{4}{31}$
5. $\frac{-7}{2}$
6. $(\frac{-1}{10}, 4)$
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利用[這篇文章](https://ccjou.wordpress.com/2016/01/04/ab-%E8%88%87-ba-%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82%EF%BC%9A%E7%89%B9%E5%BE%B5%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%AF%87/)提到的性質，可以輕易算出 A 的特徵值為 $1, 1, 1, 1, 10\alpha+1$
不可逆矩陣，必有特徵值為 0，在這裡只可能為 $10\alpha+1$，得$\alpha=\frac{-1}{10}$
再來，特徵值0的代數重數為1，$nullity(A)=1$，得 $rank(A)=4$
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7. $diag(4, 2, 1)$
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爆開來而已，沒什麼難度
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8. 91, -19, 1, 1, 1
:::warning
利用第6題提到的性質計算即可
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9. ◢▆▅▄▃崩╰(〒皿〒)╯潰▃▄▅▇◣
:::warning
如果以最下列展開的話，會得到
$$
det(P_n)(\frac{1}{2n+2}-\frac{x_n}{2n+1}+\frac{x_{n-1}}{2n-1}+...(-1)^n\frac{x_1}{n+2})
$$
其中 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=P_n^{-1}\begin{pmatrix}\frac{1}{n+2}\\\frac{1}{n+3}\\\vdots\\\frac{1}{2n+1}\end{pmatrix}$

然後，沒有然後了。
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10. $I-2\frac{(u-v)(u-v)^H}{(u-v)^H(u-v)}$
:::warning
算出 u 在 u - v 上的投影，然後減掉該投影的兩倍，就會變成 v
參閱：[Householder 矩陣](https://ccjou.wordpress.com/2009/09/14/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9F%A9%E9%99%A3-%E5%9B%9B%EF%BC%9Ahouseholder-%E7%9F%A9%E9%99%A3/)
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11. (a) 36 (b) 9
12. (a) $p_1=-5, p_2=6$  (b) $q_1=2, q_2=-17$
13. (a) $2^{12}$ (b) $2^9$
14.
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用反證法，如果 $x\lt50$ 且 $y\lt50$，則 $x+y\lt100$
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15.
$$
ab=ba\\
f(ab)=f(ba)\\
f(a)f(b)=f(b)f(a)
$$
又 f 為 onto，也就是說 $\forall h_1,h_2\in H, h_1h_2=h_2h_1$，得 H 為 abelian