# 台大 101 數學
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1. $\begin{pmatrix}1\\1\\9\end{pmatrix}$
2. 3
3. 4
4. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
:::info
此為旋轉 $-\frac{\pi}{3}$ 的旋轉矩陣，轉個 300 圈就會回到原點
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5. $x^3+5x^2+5x+4$
:::info
$$det(xI-A^2)=\\det((\sqrt{x}I+A)(\sqrt{x}I-A))=\\
-det(-\sqrt{x}I-A)det(\sqrt{x}I-A)
$$
把 $-\sqrt{x}$ 跟 $\sqrt{x}$ 代進 $x^3-x^2+3x-2$ 然後爆開
:::
6. $\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}$
:::info
題目要求的的是 $A^T$ 特徵值為 1 的特徵向量
$$
A=PDP^{-1}\\
A^T=(P^T)^{-1}DP^T=\\
\begin{pmatrix} 3&-5&3\\-1&3&-2\\0&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-5&3\\-1&3&-2\\0&-1&1\end{pmatrix}^{-1}
$$
$\begin{pmatrix}5\\-3\\1\end{pmatrix}$ 即為所求
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7. $\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$
8. $\begin{pmatrix}34\\80\\0\end{pmatrix}$
:::warning
把矩陣分成:
$$
\begin{pmatrix}1&0\\1&4\\1&8\\1&12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&1&1&1\end{pmatrix}
$$
然後[參考這篇文章](https://ccjou.wordpress.com/2016/01/04/ab-%E8%88%87-ba-%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82%EF%BC%9A%E7%89%B9%E5%BE%B5%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%AF%87/)即可算出特徵方程式為 $t^2(t^2-34t-80)$

又 $rank(H)=2$, $nullity(H)=2$，可得知特徵值 0 的代數重數等於幾何重數，因此 $H$ 可對角化，$H$ 的最小多項式沒有重根，最小多項式為 $t(t^2-34t-80)$
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9. $(-3)^5$
:::info
把小的爆開來找規律
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10. $cos(\frac{\pi}{101})$
:::warning
把式子轉換成
$$
x^T\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&0&0&\dots&0\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&\dots&0\\0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&\dots&0\\\vdots& &\ddots& & &\vdots\\0&\dots&\dots& &&0\end{pmatrix}x=x^TAx
$$
A 是對稱矩陣，用 Rayley 什麼的可知道最大的特徵值為所求。
怎麼算特徵值？詳見 [Tridiagonal toeplitz matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix#Eigenvalues)

P.S. 這東西 99 和 101 各考過一次，之後再也沒出現過。
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11. bcd 同構
12. (a) $s_n=s_{n-1}+t_n$ (b) 1
:::info
$$
s_n=(n+1)(1+2+3+...+n)-(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
$$
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13. $\binom{9}{5}$
14. (a) m = 2, n = 8 (b) m, n 為偶數且 $m\ne n$
15.
Ring 的性質有：
1. $a+b\in R$
2. $a+b=b+a$
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$
4. 存在 $0$ 使得 $a+0=0+a=a$
5. 存在 $-a$ 使得 $a+(-a)=0$
6. $ab\in R$
7. $(ab)c=a(bc)$
8. $a(b+c)=ab+ac$

因為 S 是 R 的子集合，2,3,7,8 必滿足，題目又給了 1,6，所以只需證明 4, 5

only if:
當 S 為 Ring 時，1,6 必滿足，不用證

if:
當 S 滿足 1,6 時，可知
a,a+a,a+a+a,... 皆 $\in S$ ，記 k 個 a 相加為 ka。

**因為 S 為 finite**，a 不斷地加下去，總有一天會重複：
$$
k_1a=k_2a
$$
又 $a\in R$, $-a$ 存在，可得:
$$
(k_1-k_2)a=0
$$
根據 $a+b\in S$ 這個性質，得 $0\in S$
又 $(k_1-k_2)a=(k_1-k_2-1)a + a=0$
根據定義，可得 $(k_1-k_2-1)a=a^{-1}$
再根據 $a+b\in S$ 這個性質，可得 $a^{-1}\in S$