# 貝氏定理

[TOC]

## 機率原理介紹
* 條件機率
* 交集、聯集
* Margianl Probability:將指定機率相加起來的結果
* 獨立定義

# 貝氏分類器
## Decision Theory
剛剛有提到貝氏定律的原理，而ML也是特過部分已知的特徵，來決定最後的label，這和貝氏定理有異曲同工之妙

## Terms of Bayes Theorem


* X: 證據，如魚的長度為3公分
* H: 未知的假設，如猜測這條魚是一隻鮭魚
* P(H): priorb proability,假設成立的可能性
* 假設先捕捉1000隻魚，觀察是鮭魚的機率
* P(X): evidence probability,已知的證據成立的可能性，如這條魚真的是3公分
* 假設先捕捉1000隻魚，觀察是3公分的機率
* P(X|H): likelihood,已知假設成立，則符合證據的likelihood(似然度)
* P(H|X): posterior probability,已知證據成立，則假設亦成立的posterior probability(後驗機率)
* 今天有一條新的魚，只知道他為三公分，則預測他是否為鮭魚

## Bayes Formula

## Problem Type
#### Decision before Observations

### Decision after Observations
* 例子: 假設我們現在已經知道這條魚確切的身長(X)，那我們該如何利用X證明H呢
## Class-conditional Probability Desnity Function
* 例: 今天要從樣本當中魚的長度判斷說這條魚是哪種魚，則我們應該會有以下條件
* 樣本魚的長度範圍(可能從20~50cm)
* 兩種魚出現的機率(A魚有30%，B魚有70%)
* 這兩種魚的長度分布pdf(可能有20%A魚有30公分之類的)
從這三種來推斷說當今天抓了一條45公分的魚，則最可能為哪一種魚
* 公式為P(X|H)
* 
* 你也可以將已知的證據與圖之間的關係畫出來
接著我們就可以根據\*X的值，來判斷比較有可能是哪個類別

已知的部分:
* Prior probability: P(H)
* Class-conditional pdf: P(X|H)
* 證據們: \*X
* 自己覺得這邊有點像是Random Variable的概念
Bayes Formula: 把已知的部分轉換成未知的機率P(H|\*X)
未知的部分:
P(H|\*X)

## 貝氏分類法
### 介紹
* A statistical classifier： predict class的memebership/label的機率
* Foundation(理論)： 基於貝氏定理所推出
* Performance(效能表現)：跟decision tree和選擇性的CNN有的比
* Standard： 雖然有時候很難靠著貝氏定律直接算出想要的答案結果，但是可以靠著貝氏來判段衡量哪種計算方式比較好
### Prediction on Baye's Theorem
其實也是上面筆記有提到的部分

### Naive Bayes Classifier
那現在要介紹的Naive Bayes Classifier又跟上面所提到的部份差在哪裡呢?
現在我們可以有很多個Feature\(x~1~\~x~n~\)及多個事件\(C~1~\~C~n~\)
而Naive Bayes Classifier就是透過條件機率來探討

則我們可透過上述公式中知道如果想了解一個特定事件，則需要了解已知該事件的情況下，所有X的發生機率為多少。
而如果想算出P(X~i~|C~i)，又須了解該事件分布是否為連續
* 若不連續，就按照發生事情的數量相持即可
* 若為連續，則透過平均數與標準差計算
* 
* miu為平均數
* sigma為標準差
#### Example
現在來分析(age <=30, Income = medium, Student = yes, Credit_rating = Fair)的顧客買與不買哪個機率較高
算法如下

#### 分析
* 優點:
* 比較好去做計算(至少還勉強算得出來)
* 在大多數的情況下都可以有不錯的結果
* 缺點：
* 該分類法假設所有事件都是完全獨立的，但有時候有些class/label是有關連性的
* 例如：假設今天有人有高血壓的問題，則它同時也有心臟病的問題可能也會高一些
### Avoiding the Zero-Probability
今天公式如下:
如果今天有一個子事件是沒有發生過的，則很有可能會有分母為0的不好狀況，因此我們會透過laplacian correction來從其他子事件當中移一些過去

## 模型評估與選擇

### Confusion Matrix
下面是實際計算的例子