# 穩定態與能階（待審訂）
>[name=李奕璟]
>
>[time=Dec 18, 2022]

###### tags: `QuBear` `一維無限位能井` `能階`

---

>物理學家們一直對於[波耳氫原子模型](https://hackmd.io/@glasswood/S1eU_Mqrj)之中的穩定態存在著許多困惑，直到[波函數的理論](https://hackmd.io/@glasswood/B1ZzddxLs)逐漸完備，我們才對穩定態的成因有正確的詮釋，甚至會以[量子數](https://hackmd.io/@glasswood/Hyovh-Fio)簡化表示氫原子所處之穩定態。然而高中老師沒有告訴你的是，這些穩定態都是**測量後**所得到的結果，在被測量前，原子實際上是處在萬事皆有可能的疊加態之中。為了方便理解這個撲朔迷離的狀態，本文將以被[一維無限位能井限制的粒子波函數](https://hackmd.io/@glasswood/ry6-MQiIs)作為實例，搭配[波形分析](https://hackmd.io/@glasswood/SkOWWstPs)的概念，探討該如何廣義地利用穩定態表示這顆粒子原本的量子態。在閱讀完本篇文章之後，希望大家能正式告別過往軌跡的概念，以波函數疊加的觀點重新理解**穩定態**以及**塌陷**的物理意涵，而這也暗示有更為簡潔的[數學結構](https://hackmd.io/@glasswood/Hk3GbOFti)得以完整描述系統狀態。

## 高中老師可能教過你的事

### 氫原子模型的穩定態與能階詮釋

[波耳在氫原子模型的假設](https://hackmd.io/@glasswood/S1eU_Mqrj)中提及環繞原子核的電子只能穩定繞行於特定的軌道，這是科學界首次意識到**穩定態**的存在。在德布羅意提出[物質波](https://hackmd.io/@glasswood/B1ZzddxLs)理論之後，甚至能以駐波理論解釋穩定態的成因，然而這並非故事的終點。

隨著物理學家們對於量子力學的認識越來越深，我們意識到氫原子內的電子並不會真的繞著原子核做等速率圓周運動。事實上，[測不準原理](https://hackmd.io/@glasswood/SkOWWstPs)限制了同時且準確地測量電子位置與動量的所有可能性，因此軌域的概念逐漸取代軌跡，成為現今描述系統狀態的主要方式。

>圖片來源：選修化學二，Ch01原子構造。龍騰文化。

針對單電子的氫原子模型，只要用[量子數](https://hackmd.io/@glasswood/Hyovh-Fio)就能就能簡單描述電子在核外的機率分布。主量子數$n$決定了電子所處的穩定態；角量子數$l$則決定了軌域的形狀；磁量子數$m_l$則確立了軌域在空間中分布的方向。量子數就好比是氫原子內電子的身分證明，只要掌握量子數，在量子力學中就等同於掌握了氫原子處在何種狀態。

### 波的疊加性質

有別於粒子之間在同時刻相遇時會因碰撞而改變各自的運動狀態，當兩道波同時出現在同個位置時，會因為自身的疊加性質而產生如下圖所示的**干涉**現象。以在一維均勻繩上相向而行的a波與b波為例，兩波相遇時介質需同時反應個別的位移並且相加，而最後呈現的會是兩道波重疊之後的結果，且相會後兩波會持續以原本的形式朝原先的方向繼續前進，維持波的獨立性質。

>圖片來源：選修物理三，Ch01波動。龍騰文化。

依照波的振幅在疊加時的增減，可將干涉分為**建設性干涉**與**破壞性干涉**兩大類。仰賴波動獨有的干涉性質，科學家才能藉由電子入射晶體後所產生的繞射條紋驗證物質波的存在，並使用[波函數](https://hackmd.io/@glasswood/B1ZzddxLs)的概念正確闡述氫原子模型中的穩定態以及能階。

## 一些你可能還不知道的事

### 波形分析的數學意義

<iframe width="100%" height="400" src="https://www.youtube.com/embed/spUNpyF58BY" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>

**傅立葉分析**是目前在科學上最常用來[分析波形](https://hackmd.io/@glasswood/SkOWWstPs)的數學技巧，上方所附的影片藉由模擬軟體，以清楚的可視化觀點說明所有波形都可以被拆解為不同頻率的正弦波，甚至可藉此了解不同正弦波彼此之間的權重組成。

在[自由粒子的波函數](https://hackmd.io/@glasswood/SkOWWstPs)討論中曾提及，處於自由空間中的粒子波函數實際上會以**波包**的形式存在，且其可被拆解為不同能量態所對應之正弦波，如此一來雖然粒子無法確知能量，但是卻能夠有效限縮可能出現的範圍區間。由此可知，波函數也繼承了波獨有的疊加性質，並且能連帶適用於一維無限位能井以及氫原子模型的情況中。

### 重新詮釋穩定態與原子塌陷

以被限制在[一維無限位能井中的粒子波函數](https://hackmd.io/@glasswood/ry6-MQiIs)為例，當已知位能函數$V(x)$為下列形式：

$$
V(x)=\{\begin{array}{rcl}0 &,& 0<x<a\\
\infty &,& \mbox{otherwise}
\end{array}
$$

可得此時空間波函數的特徵解$\psi_n(x)$為：

$$
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin({\frac{n\pi}{a}x}), n=1,2,3...
$$

且上述每一個特徵解都會對應到一個能階值$E_n$：

$$
E_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{n^2h^2}{8ma^2}
$$

當被限制的粒子**恰好**處於特徵解波函數$\psi_n(x)$對應的狀態時，雖然無法確定粒子的確切位置，但此時其能量值必為$E_n$。然而，在**測量之前**並無法完全確定粒子會處於哪個能量態，而粒子波函數也無法直接對應到單一的特徵解答。幸好，由波函數的疊加性質可證明，一維無限位能井中粒子的波函數$\psi(x)$必由不同的特徵解所組成，亦即：

$$
\psi(x)=\sum_{n}c_n\psi_n(x)
$$

其中$c_n$為不同特徵解所對應之權重，而$|c_n|^2$則可視為波函數振幅的平方項，意味著**經測量後**該特徵態出現之機率值。

如此一來，在給定位能函數的前提下，粒子空間波函數必定為不同特徵解狀態疊加而成，而當針對粒子之能量進行測量時，波函數會依據不同機率**塌陷**至其中一種特徵態，之後若沒有其他干擾便會持續停留於該狀態，因此我們又稱特徵態為**穩定態**。

同樣的塌陷概念也適用於氫原子之中，只是此時的波函數由三種不同的量子數所控制，故其特徵態需以$\psi_{nlm}$表示之，因此數學形式會較為複雜。儘管在測量之前，氫原子的波函數會由不同機率之特徵態組成，但在測量能量之後，氫原子即會塌陷至特定的狀態並在不受干擾的條件下穩定存在。

## 總結一定要記得的這件事

許多人經常誤以為量子系統只會處於穩定態，而忽略了這其實是經過測量後的結果。本篇文章藉由被[一維無限位能井](https://hackmd.io/@glasswood/ry6-MQiIs)困住的粒子波函數為例，最終發覺原來在被測量之前，系統波函數其實是由機率不等的眾多穩定態疊加而成，經測量後系統會根據機率分布塌陷至其中一個穩定態，才可得到對應的能階值。

:::warning
有別於古典理論預測的原子塌陷，在量子觀點之中，正是因為原子受到測量的干擾產生塌陷，整個系統才能持續維持穩定而不致崩潰，這是古典與量子思維巨大的區別。
:::