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# Test Classique

## Rappels de la loi gamma et la loi normale

### Loi gamma

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**Définition**
Soit $X$ une variable aléatoire continue positive. On dit que $X$ suit la loi $\gamma_r$ (de paramètre $c>0$) si sa densité est $f(x)=\frac{1}{\Gamma(r)}e^{-x}.x^{r-1}$ où
$$ \Gamma(x) = \int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt $$
est la fonction gamma.
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:::danger
**Propriété de $\Gamma(x)$**
1. $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$
2. $\Gamma(1) = 1$
3. $\Gamma(n+1) = n!$
4. $\Gamma(k+\frac{1}{2})=\frac{(1, 3, 5, ..., 2k-1)}{2^k}\Gamma(\frac{1}{2})$
5. $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
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**Calcul de $E(X)$**
$$
E(x) =\frac{1}{\Gamma(r)}\int_{0}^{+\infty}x^re^{-x}dx \\
(E(x) =\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx) \\
E(x^2) = \int_{0}^{+\infty}x^2f(x)dx \\
E(x^2) = \frac{1}{\Gamma(r)}\int x^{r+1}e^{-x}dx \\
E(x^2) = \frac{\Gamma(r+2)}{\Gamma(r)} \\
E(x^2) = \frac{(r+1)\Gamma(r+1)}{\Gamma(r)} \\
E(x^2) = (r+1)r
$$
Donc
$$
V(x) = E(x^2) - E^2(x) \\
V(x) = r(r+1)-r^2 \\
V(X) = r \\
$$

### Loi Laplace-Gauss(loi normale)

:::info
**Définition**
$X$ suit la loi normale $N(m, \sigma)$ de paramètres $m$ et $\sigma$ si sa densité est
$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}exp(-\frac{1}{2}(\frac{x-m}{\sigma})^2)
$$
avec $\forall x \in \mathbb{R}$, $m=E(x)$ et $\sigma=\sqrt{V(x)}$
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**Variable normale centrée et réduite**

## Fichiers