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title: 数学圆锥曲线结论
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# 数学圆锥曲线结论

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## 基础

椭圆的通径：过焦点与 $y$ 轴平行的线段，$|AB| = \dfrac{2b^2}{a}$

椭圆焦点三角形面积公式：$S = b^2 \tan \dfrac{\theta}{2}$

双曲线焦点三角形面积公式：$S = \dfrac{b^2}{\tan \dfrac{\theta}{2}}$

## 抛物线焦点弦

![image.png](https://b3logfile.com/siyuan/1609132319768/assets/image-20210509215846-di5xi84.png)

抛物线过焦点的弦的结论：

$\begin{aligned}x_1 \times x_2 = \dfrac{p^2}{4} \\y_1 \times y_2 = -p^2 \end{aligned}$

设倒斜式，联立易证。

焦半径公式：
$$
\begin{aligned}
|AF| = \dfrac{p}{1 - \cos \theta} \\
|BF| = \dfrac{p}{1 + \cos \theta}
\end{aligned}
$$

弦长公式：
$|AB| = x_1 + x_2 + p = \dfrac{2p}{\sin ^2 \theta}$

不知道有啥用的公式：
$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$

以某条焦半径(AF 或 BF) 为直径的圆与 y 轴相切。  
证明：设中点 $M(\dfrac{\dfrac{p}{2}+x}{2},\dfrac{y}{2})$，由第一定义有 $|AF| = x + \dfrac{p}{2}$，显然证毕。

以 $AB$ 为直径的圆与抛物线准线相切。

设 $A$ 垂直准线于 $C$，$B$ 垂直准线于 $D$，则 $\angle CFD = \dfrac{\pi}{2}$

A O D 三点共线。

![image.png](https://b3logfile.com/siyuan/1609132319768/assets/image-20210509214257-2eiczhk.png)

$\tan \beta = \sin \alpha = \dfrac{y_A}{|AF|}$
且$\angle ACF = \angle BCF$

![image.png](https://b3logfile.com/siyuan/1609132319768/assets/image-20210509214554-ihp3xr3.png)

极化恒等式：$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AM|^2 - |\dfrac{BC}{2}|^2$

证明即拆开即可。

## 第二定义

圆锥曲线第二定义：点到焦点距离与到准线距离比为离心率。  
$|PF| = ed$  
其中 $d$ 为到准线距离，准线为 $\dfrac{a^2}{c}$ 或 $-\dfrac{a^2}{c}$

焦半径公式：  
椭圆：$|PF| = a \pm ex_0$  
角度表示：$|PF| = \dfrac{e p}{1 \pm e \cos \theta}$，其中 $p$ 为焦准距，即 $\dfrac{b^2}{c}$

双曲线：  
若在右支上，则 $|PF| = ex_0 \pm a$  
若在左支上，则 $|PF| = -(ex_0 \pm a)$

## 第三定义

圆锥曲线第三定义：任意中心弦两端点到曲线上一点的斜率乘积为定值。  
椭圆：$k_{AM} \times k_{BM} = -\dfrac{b^2}{a^2}$  
证明：过原点作中位线，设出中点坐标，点差法表示斜率。

双曲线：$k_{AM} \times k_{BM} = \dfrac{b^2}{a^2}$

中线长公式：$AM^2 = \dfrac{AB^2 + AC^2 - 2 \times (\dfrac{BC}{2})^2}{2}$  
证明：互补角余弦值相加为零