---
# System prepended metadata

title: ALGEBRA NOTATKI

---

# ALGEBRA NOTATKI

## Przestrzenie i podprzestrzenie liniowe
 
 ```S + T = {s + t : s ∈ S, t ∈ T}```

Przy zał. że ```S ```i ```T``` są podprz. tej samej przestrzeni.
Jeżeli ```B1``` jest bazą ```S``` oraz ```B2``` jest bazą ```T```,
to ```B1 ∪ B2``` jest bazą ```S + T```.

Stąd zawsze łatwo obliczyć wymiar ```S + T```.


### Lemat Steinitza
![](https://i.imgur.com/0Qwfp96.png)

### Równanie o wymiarach podprzestrzenii liniowych
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkknbatVA.png)

### Przekształcenia liniowe
![image](https://hackmd.io/_uploads/HJeQI6KV0.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/SJFQUptEA.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/ByOd8pYN0.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/ryhtLptN0.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1poITY4C.png)


 ## Grupy i podgrupy
 
 Grupa - zbiór z działaniem, gdy spełnia warunki:
 - łączność,
 - element neutralny,
 - element odwrotny.

Grupa nie zawiera ```"0"```, jeżeli działaniem tej grupy jest mnożenie (więc można skracać do woli). (Zawsze można skracać)

Tj. dla ```x,y,g ∈ G``` mamy:
```gx = gy <=> x = y```

Półgrupa - zbiór z działaniem, gdy spełnia warunki:
- łączność

Podgrupa - ```H``` jest podgrupą ```G```, zapisujemy: ```H ≤ G``` gdy ```H ⊆ G``` i ```H``` jest grupą.

Podgrupa normalna - ```H``` jest podgrupą normalną ```G```, gdy ```aH = Ha``` dla każdego elementu ```a ∈ G```.

Gdy ```H ≤ G``` to warstwą lewostronną ```H``` (w ```G```) są zbiory postaci:
```aH = {ah : h ∈ H}```,
zaś prawostronnną: ```Ha = {ha : h ∈ H}```

dla ```a ∈ G```.
Zbiór warstw lewostronnych ```H``` w ```G``` oznaczamy przez ```G/H```.

Każde dwie warstwy są równoliczne.
Każde dwie warstwy lewostronne (prawostronne) są rozłączne lub identyczne.


Zarówno warstwy lewostronne jak i prawostronne pewnej podgrupy grupy G pokrywają całą grupę G.

## Macierze

### Obliczanie bazy jądra i obrazu
JĄDRO:
Gauss na kolumnach (lub wierszach transponowanej) i identyczne kroki na identycznościowej (jak na trans. to trzeba jeszcze jedną transpoz. na koniec). Z przekształconej Id weź te kolumny które w przeksztalconej M są zerami.

Wymiar macierzy ident.: liczba kolumn w M.

OBRAZ:
Niezerowe kolumny na Gaussie prowadzonym kolumnowo.

### Obserwacje:
Wyznacznik macierzy jest =0, wtw. gdy istnieje w jądrze nietrywialny wektor.

### Macierz Grama
![](https://i.imgur.com/2djxFRA.png)

### Rząd macierzy
![](https://i.imgur.com/MBUiss1.png)
![](https://i.imgur.com/SFCpuFi.png)


### Macierz symetryczna
<!-- A=A<sup>T</sup> -->
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20%3D%20A%5ET)

Symetria wg osi lewy-górny róg -> prawy-dolny róg.

Przykład takiej macierzy.

1 2 3   
2 4 9  
3 9 5

Macierze ```M``` i ```N``` komutują gdy:
``` MN = NM ``` (oczywiście M i N są kwadratowe)


Macierz M jest odwracalna jeżeli istnieje M^(-1) że:
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?M*M%5E%7B-1%7D%20%3D%20Id)

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1kgjTtV0.png)


![](https://i.imgur.com/QThpUIH.png)

Kalkulator macierzy odwrotnej


[https://matrixcalc.org/](https://matrixcalc.org/en/) 

https://matrix.reshish.com/inverCalculation.php 
.
.
.
#### Obliczenie macierzy odwrotnej
Wykonujemy kroki na macierzy M by dojść do Id.
Identyczne kroki prowadzą z Id do M^(-1).

Da się to zrobić tylko do liniowo niezależnej i kwadratowej (tj. odwracalnej).

Cechy macierzy odwrotnej:
```M * M^-1 = Id```
```M^-1 * M = Id```

Inne ciekawe własności macierzy kwadr.:
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28MN%29%5ET%20%3D%20N%5ET%20*%20M%5ET)
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28E%5ET%29%5E%7B-1%7D%20%3D%20%28E%5E%7B-1%7D%29%5ET)

![image](https://hackmd.io/_uploads/B1_osaY40.png)

![](https://i.imgur.com/9sr5WUX.png)


#### Rząd macierzy
rk(M) = dim LIN(M1, . . . , Mn)
rk(M) = rk(M<sup>T</sup>)

Rząd macierzy = ilość wierszy niezerowych po eliminacji Gaussa.


#### Macierz dodatnio określona
![](https://i.imgur.com/GHJnlh6.png)

### Bazy, zmiany bazy, wyr. wektora w bazie

#### Bazy
Jeżeli wyrażamy bazę jako macierz, to wektory są KOLUMNAMI.

#### Macierz zmiany bazy
![](https://i.imgur.com/HUXMDEr.png)

#### Wyrażenie wektora w bazie
![](https://i.imgur.com/hoe2Gae.png)

#### Przekształcenie a zmiana bazy
![Uploading file..._wd62zol32]()



### Wyznacznik macierzy

Metoda Sarussa (TYLKO dla 3x3):
![](https://slideplayer.pl/slide/3011200/11/images/28/Wyznaczniki+3+x+3.jpg)

Własności
det(A · B) = det(A) · det(B) 
det(A) = det(A<sup>T</sup>)

Dla macierzy trójkątnej to iloczyn elementów na przekątnej.

Aby obliczyć wyznacznik stosujemy el. Gaussa pamiętając że:
• Dodanie do wiersza macierzy wielokrotności innego wiersza nie zmienia wyznacznika.
• Wyznacznik macierzy z zerowym wierszem jest równy 0.
• Zamiana dwóch wierszy miejscami zmienia znak wyznacznika na przeciwny.
• Mnożenie wiersza przez stałą powoduje, że wyznacznik też "mnoży się" przez tą samą stałą.

![](https://i.imgur.com/VQIqsP6.png)

![](https://i.imgur.com/NyXE8Mj.png)
![](https://i.imgur.com/qxLwy0o.png)

Jeśli wyznacznik macierzy głównej jest niezerowy, to ma on dokładnie jedno rozwiązanie.

Tw. Kronecker-Capelli (korzystać gdy det(A) = 0)
Układ AX = B ma rozwiązanie ⇐⇒ rk(A|B) = rk(A).

Kiedy zachodzi rk(A|B) = rk(A) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Kiedy nie zachodzi powyższe, to nie ma żadnych rozwiązań.

### Wartości i wektory własne

![](https://i.imgur.com/U6eqPQT.png)
Obliczanie wartości własnej


https://matrixcalc.org/en/vectors.html

.
.
.

![](https://i.imgur.com/027wc0E.png)
![](https://i.imgur.com/9JdQY5c.png)
![](https://i.imgur.com/I0G3Wm6.png)

### Krotności alg. i geo.
![](https://i.imgur.com/4AeX7zQ.png)

![](https://i.imgur.com/WDKpGZS.png)

### Przekształcenia liniowe
![](https://i.imgur.com/07GnOQZ.png)

![](https://i.imgur.com/TSiZUws.png)

Wyrażenie wektora w bazie to pokazanie go jako kombinacje liniową.

### Wielomian charakterystyczny


![](https://i.imgur.com/dgGsmL0.png)


### Dopełnienie ortogonalne, rzuty prostokątne
![](https://i.imgur.com/yFaWxnw.png)
![](https://i.imgur.com/xR0hZzd.png)

![](https://i.imgur.com/FaeUXOc.png)

Wektory są prostopadłe, jak ich iloczyn skalarny jest równy 0.

### Ortonormalizacja układu wektorów

Iloczyn skalarny wektorów:
v · u = <v, u>
![](https://i.imgur.com/SNhtW9N.png)


Pierwszy wektor dzielimy przez jego długość.
Długość wektora to pierwiastek iloczynu skalar. czyli pierwiastek z <v,v>

Algorytm Grama-Schmidta:
![](https://i.imgur.com/9NI97bP.png)

Potem u_i* podzielić przez jego długość i tym sposobem uzyskać u_i.

Jeżeli przy dzieleniu przez długość wektora wychodzi dzielenie przez 0, to podany układ wektorów był liniowo zależny -> brak rozwiązania.

Dopełnianie do bazy ortonormalnej:
zrób eliminacje Gaussa, zobacz jakich schodków brakuje i dodaj wektory postaci
0,0....,0,1,0,0...0.

Na koniec zortonormalizuj nowo-dodane wektory.


## Grupy

Dla każdego elementu mamy, że rząd elementu dzieli rząd grupy.

Do tego (w grupie skończonej) mamy z Twierdzenia Legrange’a: Rząd podgrupy dzieli rząd grupy

![](https://i.imgur.com/oAZBcH5.png)

#### Grupy cykliczne
Takie, które mogą zostać wygenerowane przez 1 element.


### Zadania z ilością możliwości/Burnsidem
Dla dowolnej grupy działającej na zbiorze i dowolnego elementu x tego zbioru zachodzi:

```|G| = |Ox| · |Gx|``` ,

gdzie ```Ox``` jest orbitą ```x```, zaś ```Gx``` stabilizatorem ```x```.


Oblicznie na ile sposobów można pomalować wierzchołki/krawędzie - przykład dla krawędzi:

Lemat Burnside’a: ![](https://i.imgur.com/rDJipvF.png)

A.D. Powyżej zamiast ```fix(g)``` powinno być ```|fix(g)|```.
g -> każde możliwe przekształcenie (obrót/symetria)

```|fix(g)|``` to ilość elementów, że ```g(x) = x```, przykład dla sześciokąta:
identyczność -> 6^6
obrót o 60 stopni -> 6


Orbita - zbiór "pozycji" gdzie może zostać przeniesiony element.
Stabilzator - zbiór przekształceń, które pozostawiają element na swojej pozycji. (np identyczność, należy do stabilizatora każdego elementu).

### Permutacje
Rząd permutacji: najmniejsza ilość złożeń k, taka że g^k = id dla danej permutacji g.

Permutacja odwrotna -> "zamień górę z dołem" i odpowiednio posortuj "wg góry". (tak żeby pary góra-dół były zachowane) Dostałeś perm. odwrotną.

Rząd permutacji -> NWW po rozmiarach jej cykli.
Rząd permutacji oraz permutacji odwrotnej jest taki sam.

Parzystość permutacji to parzystość ilości cykli parzystych w rozkładzie na cykle rozłączne.

UWAGA -> 
Cykl parzysty jest permutacją nieparzystą
Cykl nieparzysty jest permutacją parzystą.

Parzystość permutacji to parzystość ilości jej inwersji.
Znak sgn(σ) permutacji σ to +1, gdy σ jest parzysta oraz −1 gdy nieparzysta.


![image](https://hackmd.io/_uploads/r1HG-JcNA.png)
