# ALGEBRA NOTATKI
## Przestrzenie i podprzestrzenie liniowe
```S + T = {s + t : s ∈ S, t ∈ T}```
Przy zał. że ```S ```i ```T``` są podprz. tej samej przestrzeni.
Jeżeli ```B1``` jest bazą ```S``` oraz ```B2``` jest bazą ```T```,
to ```B1 ∪ B2``` jest bazą ```S + T```.
Stąd zawsze łatwo obliczyć wymiar ```S + T```.
### Lemat Steinitza
### Równanie o wymiarach podprzestrzenii liniowych
### Przekształcenia liniowe
## Grupy i podgrupy
Grupa - zbiór z działaniem, gdy spełnia warunki:
- łączność,
- element neutralny,
- element odwrotny.
Grupa nie zawiera ```"0"```, jeżeli działaniem tej grupy jest mnożenie (więc można skracać do woli). (Zawsze można skracać)
Tj. dla ```x,y,g ∈ G``` mamy:
```gx = gy <=> x = y```
Półgrupa - zbiór z działaniem, gdy spełnia warunki:
- łączność
Podgrupa - ```H``` jest podgrupą ```G```, zapisujemy: ```H ≤ G``` gdy ```H ⊆ G``` i ```H``` jest grupą.
Podgrupa normalna - ```H``` jest podgrupą normalną ```G```, gdy ```aH = Ha``` dla każdego elementu ```a ∈ G```.
Gdy ```H ≤ G``` to warstwą lewostronną ```H``` (w ```G```) są zbiory postaci:
```aH = {ah : h ∈ H}```,
zaś prawostronnną: ```Ha = {ha : h ∈ H}```
dla ```a ∈ G```.
Zbiór warstw lewostronnych ```H``` w ```G``` oznaczamy przez ```G/H```.
Każde dwie warstwy są równoliczne.
Każde dwie warstwy lewostronne (prawostronne) są rozłączne lub identyczne.
Zarówno warstwy lewostronne jak i prawostronne pewnej podgrupy grupy G pokrywają całą grupę G.
## Macierze
### Obliczanie bazy jądra i obrazu
JĄDRO:
Gauss na kolumnach (lub wierszach transponowanej) i identyczne kroki na identycznościowej (jak na trans. to trzeba jeszcze jedną transpoz. na koniec). Z przekształconej Id weź te kolumny które w przeksztalconej M są zerami.
Wymiar macierzy ident.: liczba kolumn w M.
OBRAZ:
Niezerowe kolumny na Gaussie prowadzonym kolumnowo.
### Obserwacje:
Wyznacznik macierzy jest =0, wtw. gdy istnieje w jądrze nietrywialny wektor.
### Macierz Grama
### Rząd macierzy
### Macierz symetryczna
<!-- A=A<sup>T</sup> -->
Symetria wg osi lewy-górny róg -> prawy-dolny róg.
Przykład takiej macierzy.
1 2 3
2 4 9
3 9 5
Macierze ```M``` i ```N``` komutują gdy:
``` MN = NM ``` (oczywiście M i N są kwadratowe)
Macierz M jest odwracalna jeżeli istnieje M^(-1) że:
Kalkulator macierzy odwrotnej
[https://matrixcalc.org/](https://matrixcalc.org/en/)
https://matrix.reshish.com/inverCalculation.php
.
.
.
#### Obliczenie macierzy odwrotnej
Wykonujemy kroki na macierzy M by dojść do Id.
Identyczne kroki prowadzą z Id do M^(-1).
Da się to zrobić tylko do liniowo niezależnej i kwadratowej (tj. odwracalnej).
Cechy macierzy odwrotnej:
```M * M^-1 = Id```
```M^-1 * M = Id```
Inne ciekawe własności macierzy kwadr.:
#### Rząd macierzy
rk(M) = dim LIN(M1, . . . , Mn)
rk(M) = rk(M<sup>T</sup>)
Rząd macierzy = ilość wierszy niezerowych po eliminacji Gaussa.
#### Macierz dodatnio określona
### Bazy, zmiany bazy, wyr. wektora w bazie
#### Bazy
Jeżeli wyrażamy bazę jako macierz, to wektory są KOLUMNAMI.
#### Macierz zmiany bazy
#### Wyrażenie wektora w bazie
#### Przekształcenie a zmiana bazy
![Uploading file..._wd62zol32]()
### Wyznacznik macierzy
Metoda Sarussa (TYLKO dla 3x3):
Własności
det(A · B) = det(A) · det(B)
det(A) = det(A<sup>T</sup>)
Dla macierzy trójkątnej to iloczyn elementów na przekątnej.
Aby obliczyć wyznacznik stosujemy el. Gaussa pamiętając że:
• Dodanie do wiersza macierzy wielokrotności innego wiersza nie zmienia wyznacznika.
• Wyznacznik macierzy z zerowym wierszem jest równy 0.
• Zamiana dwóch wierszy miejscami zmienia znak wyznacznika na przeciwny.
• Mnożenie wiersza przez stałą powoduje, że wyznacznik też "mnoży się" przez tą samą stałą.
Jeśli wyznacznik macierzy głównej jest niezerowy, to ma on dokładnie jedno rozwiązanie.
Tw. Kronecker-Capelli (korzystać gdy det(A) = 0)
Układ AX = B ma rozwiązanie ⇐⇒ rk(A|B) = rk(A).
Kiedy zachodzi rk(A|B) = rk(A) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Kiedy nie zachodzi powyższe, to nie ma żadnych rozwiązań.
### Wartości i wektory własne
Obliczanie wartości własnej
https://matrixcalc.org/en/vectors.html
.
.
.
### Krotności alg. i geo.
### Przekształcenia liniowe
Wyrażenie wektora w bazie to pokazanie go jako kombinacje liniową.
### Wielomian charakterystyczny
### Dopełnienie ortogonalne, rzuty prostokątne
Wektory są prostopadłe, jak ich iloczyn skalarny jest równy 0.
### Ortonormalizacja układu wektorów
Iloczyn skalarny wektorów:
v · u = <v, u>
Pierwszy wektor dzielimy przez jego długość.
Długość wektora to pierwiastek iloczynu skalar. czyli pierwiastek z <v,v>
Algorytm Grama-Schmidta:
Potem u_i* podzielić przez jego długość i tym sposobem uzyskać u_i.
Jeżeli przy dzieleniu przez długość wektora wychodzi dzielenie przez 0, to podany układ wektorów był liniowo zależny -> brak rozwiązania.
Dopełnianie do bazy ortonormalnej:
zrób eliminacje Gaussa, zobacz jakich schodków brakuje i dodaj wektory postaci
0,0....,0,1,0,0...0.
Na koniec zortonormalizuj nowo-dodane wektory.
## Grupy
Dla każdego elementu mamy, że rząd elementu dzieli rząd grupy.
Do tego (w grupie skończonej) mamy z Twierdzenia Legrange’a: Rząd podgrupy dzieli rząd grupy
#### Grupy cykliczne
Takie, które mogą zostać wygenerowane przez 1 element.
### Zadania z ilością możliwości/Burnsidem
Dla dowolnej grupy działającej na zbiorze i dowolnego elementu x tego zbioru zachodzi:
```|G| = |Ox| · |Gx|``` ,
gdzie ```Ox``` jest orbitą ```x```, zaś ```Gx``` stabilizatorem ```x```.
Oblicznie na ile sposobów można pomalować wierzchołki/krawędzie - przykład dla krawędzi:
Lemat Burnside’a: 
A.D. Powyżej zamiast ```fix(g)``` powinno być ```|fix(g)|```.
g -> każde możliwe przekształcenie (obrót/symetria)
```|fix(g)|``` to ilość elementów, że ```g(x) = x```, przykład dla sześciokąta:
identyczność -> 6^6
obrót o 60 stopni -> 6
Orbita - zbiór "pozycji" gdzie może zostać przeniesiony element.
Stabilzator - zbiór przekształceń, które pozostawiają element na swojej pozycji. (np identyczność, należy do stabilizatora każdego elementu).
### Permutacje
Rząd permutacji: najmniejsza ilość złożeń k, taka że g^k = id dla danej permutacji g.
Permutacja odwrotna -> "zamień górę z dołem" i odpowiednio posortuj "wg góry". (tak żeby pary góra-dół były zachowane) Dostałeś perm. odwrotną.
Rząd permutacji -> NWW po rozmiarach jej cykli.
Rząd permutacji oraz permutacji odwrotnej jest taki sam.
Parzystość permutacji to parzystość ilości cykli parzystych w rozkładzie na cykle rozłączne.
UWAGA ->
Cykl parzysty jest permutacją nieparzystą
Cykl nieparzysty jest permutacją parzystą.
Parzystość permutacji to parzystość ilości jej inwersji.
Znak sgn(σ) permutacji σ to +1, gdy σ jest parzysta oraz −1 gdy nieparzysta.
Sign in with Wallet
Connect another wallet