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# 有限元素法 (1D 彈性桿)

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# 🎯 本篇推導的完整要求

| 項目 | 你要的內容 | 特別注意 |
|:---|:---|:---|
| 1. 問題設定 | 整根桿長 $L = 1$，分成2個元素，每個元素長度 $0.5$，$EA=1$，右端集中力 $F=1$，內部無體積力 $f(x)=0$ | 沒有均勻受力，純粹集中力模式 |
| 2. 強形式 PDE | $\frac{d}{dx}(EA \frac{du}{dx}) = 0$ | 右手邊是 0 |
| 3. 虛功原理 | 明確列出內力虛功 = 外力虛功，且說明虛功原理即弱形式 |
| 4. 殘差定義 | 定義殘差 $R(x)$，說明無法逐點滿足，因此需要加權積分為0 |
| 5. 積分分部展開 | 將積分分部一次，清楚列式，解釋邊界項處理（是否消失） |
| 6. 近似解 $u_h(x)$ 展開 | 以線性形狀函數 $N_i(x)$ 展開 $u_h(x)$ |
| 7. 測試函數 $v(x)$ 選擇 | 測試函數選成同一組形狀函數 $N_j(x)$（Galerkin法） |
| 8. 單元素形狀函數定義 | 單元素長度 $0.5$，所以 $N_1(x) = 1-2x$、$N_2(x) = 2x$ |
| 9. 單元素剛性矩陣推導 | - 從積分式開始推導，不直接寫結果<br>- 展開剛性矩陣推導細節<br>- 帶入 $EA=1$、$h=0.5$ |
| 10. 單元素力向量推導 | 因為內部無體積力，所以力向量只考慮右端集中力 |
| 11. 全域剛性矩陣組裝 | 三個節點 $u_0, u_1, u_2$，3x3剛性矩陣清楚組裝 |
| 12. 外力向量組裝 | 力向量為 $[0, 0, 1]$，集中在最後一個節點 |
| 13. 邊界條件施加 | 固定 $u_0=0$，刪除第0列與第0行，並修正右手向量 |
| 14. 聯立方程式求解 | 全部列出代數步驟，逐步推導 $u_1$、$u_2$ |
| 15. 最終位移結果 | $u_0=0$、$u_1=0.5$、$u_2=1$ |
| 16. 格式要求 | 小標題清楚，HackMD可渲染，公式乾淨對齊，不跳步，不破版 |

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# 🎯 問題設定

- 桿長 $L = 1$
- 分成兩個元素，每個元素長度 $0.5$
- 材料剛性 $EA = 1$
- 無體積力：$f(x) = 0$
- 邊界條件：$u(0) = 0$（左端固定）
- 右端節點施加集中力 $F = 1$

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# 🎯 Step 1：強形式 (PDE)

微分方程式：

$$
\frac{d}{dx}\left( EA \frac{du}{dx} \right) = 0
$$

代表桿內部無體積分佈力，只有端點施加集中力。

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# 🎯 Step 2：虛功原理與弱形式

對任意虛擾函數 \(v(x)\)，內力虛功等於外力虛功：

$$
\int_0^L EA \frac{du}{dx} \frac{dv}{dx} \, dx = F \cdot v(L)
$$

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# 🎯 Step 3：殘差定義

令殘差：

$$
R(x) = \frac{d}{dx}\left( EA \frac{du_h}{dx} \right)
$$

弱形式要求：

$$
\int_0^L R(x) v(x) \, dx = 0
$$

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# 🎯 Step 4：積分分部展開

積分分部：

$$
\int_0^L EA \frac{du_h}{dx} \frac{dv}{dx} \, dx - \left. EA \frac{du_h}{dx} v \right|_0^L = 0
$$

邊界項中，因為 \(v(0)=0\)（固定邊界），只剩右端邊界貢獻。

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# 🎯 Step 5：近似解展開與測試函數選擇

使用形狀函數近似位移：

$$
u_h(x) = \sum_{i=0}^2 N_i(x) U_i
$$

測試函數也取：

$$
v(x) = N_j(x)
$$

（Galerkin法）

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# 🎯 Step 6：單元素形狀函數

在每個元素內（長0.5）：

$$
N_1(x) = 1 - 2x, \quad N_2(x) = 2x
$$

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# 🎯 Step 7：單元素剛性矩陣推導

單元素剛性矩陣：

$$
K_{ij}^{(e)} = \int_0^{0.5} EA \frac{dN_i}{dx} \frac{dN_j}{dx} dx
$$

因為：

$$
\frac{dN_1}{dx} = -2, \quad \frac{dN_2}{dx} = 2
$$

代入得到：

$$
K^{(e)} = 2
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
$$

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# 🎯 Step 8：全域剛性矩陣組裝

總剛性矩陣：

$$
K =
\begin{bmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 4 & -2 \\
0 & -2 & 2
\end{bmatrix}
$$

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# 🎯 Step 9：外力向量組裝

外力向量只有右端：

$$
F =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
$$

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# 🎯 Step 10：施加邊界條件

施加 $u_0=0$，刪除第0行列後：

矩陣：

$$
\begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-2 & 2
\end{bmatrix}
$$

向量：

$$
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
$$

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# 🎯 Step 11：求解系統

列式：

1. $4u_1 - 2u_2 = 0$
2. $-2u_1 + 2u_2 = 1$

從第一式得：

$$
u_2 = 2u_1
$$

代入第二式：

$$
-2u_1 + 2(2u_1) = 1
$$
$$
2u_1 = 1
$$
$$
u_1 = 0.5
$$
$$
u_2 = 1
$$

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# 🎯 Step 12：最終結果

| 節點 | 位移 $u$ |
|:---|:---|
| $u_0$ | 0 |
| $u_1$ | 0.5 |
| $u_2$ | 1 |

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# 🎯 小結

本推導從強形式、虛功原理、弱形式、形狀函數近似、剛性矩陣推導、全域組裝、施加邊界條件到求解位移，一步步完整展開。

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# 有限元素法（FEM）學習地圖與數學基礎整理

## 🎯 你將學會什麼？
- FEM 的數學基礎是什麼？
- 哪些概念來自哪些數學學科？
- 想深入學 FEM，要學哪些數學？
- 推薦書籍與學習順序

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## 📚 FEM 涉及的數學領域與對應書籍

| FEM 中的概念 | 對應數學學科 | 推薦書籍 |
|----------------------------------|----------------------------|---------|
| 偏微分方程（PDE） | 微分方程 / 數理物理 | 《Strauss - PDE》<br>《Haberman - Applied PDEs》 |
| 弱形式、積分分部 | 變分法 / 泛函分析 | 《Gelfand & Fomin - Calculus of Variations》<br>《Brezis - Functional Analysis》 |
| 加權殘差法 / Galerkin 方法 | 數值方法 / 數值 PDE | 《Johnson - Numerical Solution of PDEs by FEM》 |
| 形狀函數 / 插值理論 | 數值分析 | 《Burden & Faires - Numerical Analysis》 |
| 線性系統 KU = F | 線性代數 | 《Axler - Linear Algebra Done Right》<br>《Trefethen - Numerical Linear Algebra》 |
| Jacobian / 座標變換 | 多變數微積分 | 《Folland - Advanced Calculus》<br>MIT OCW 多變微積分 |
| 有限維近似、Hilbert 空間 | 泛函分析 / 實分析 | 《Debnath - Hilbert Spaces》<br>《Stein & Shakarchi - Real Analysis》 |
| 有限元素理論總覽 | FEM 專書 | 《Zienkiewicz - The Finite Element Method》<br>《Logan - A First Course in FEM》 ✅ |

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## 🧠 FEM 學習階層

| 階段 | 能力範圍 | 說明 |
|------------------|--------------------------------|------|
| ⛏️ 工具使用者 | 用 Ansys / Abaqus 做模擬 | 拖拉建模、按鈕出圖 |
| 🧰 觀念掌握者 | 看懂剛性矩陣與 FEM 原理 | 知道為什麼矩陣長這樣 |
| 🛠️ 程式實作者 | 自己用 Python / C++ 寫出簡單 FEM | 能組剛性矩陣與力向量 |
| 🧪 進階應用研究者 | 做非線性 / 多場耦合 FEM 模擬 | 進入研究所常見任務 |
| 🧠 理論研究者 | 弱解 / 收斂性 / 空間分析 | 泛函分析與 PDE 理論建構者 |

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## 🔥 FEM 還有哪些研究方向？

| 領域 | 應用例子與挑戰 |
|--------------------------|--------------------------------------------|
| 非線性 FEM | 材料非線性、大變形、塑性、橡膠 |
| 多尺度 FEM | 微米~公尺、細胞~組織 |
| 動態 / 衝擊分析 FEM | 震動、碰撞、爆炸 |
| 高階形狀函數 (p-refinement) | 用高次插值取代細分 |
| Isogeometric Analysis | 用 spline（樣條函數）當形狀函數連結 CAD |
| XFEM / meshfree 方法 | 處理裂縫、斷層、介面等不連續問題 |
| GPU 並行 FEM | 快速模擬人體 / 車體 / 地震 |

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## 📘 入門推薦教材

- **《A First Course in the Finite Element Method》（Logan）**
- 最適合工程人、FEM 入門者
- 由淺入深，推導清楚、圖多好懂
- 適合大學高年級或研究所預備

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