# 圓的方程式整理

## 一、圓的標準式

* 定義：在平面上，**與一個定點等距離**的點的軌跡就是圓。

* 圓心：定點 $M(h,k)$
* 半徑：$r$

設 $P(x,y)$ 在圓上，根據兩點距離公式：

$$
PM^2 = (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
$$

👉 圓的**標準式**：

$$
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
$$

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## 二、圓的一般式

將標準式展開：

$$
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
$$

$$
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
$$

👉 圓的一般式：

$$
x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0
$$

其中：

$$
d = -2h, \quad e = -2k, \quad f = h^2 + k^2 - r^2
$$

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## 三、一般式化為標準式（配方法）

對 $x$ 與 $y$ 進行配方：

$$
x^2 + dx + y^2 + ey + f = 0
$$

$$
(x+\tfrac{d}{2})^2 + (y+\tfrac{e}{2})^2 = \tfrac{d^2}{4} + \tfrac{e^2}{4} - f
$$

* 圓心：$\left(-\tfrac{d}{2}, -\tfrac{e}{2}\right)$
* 半徑：$r = \sqrt{\tfrac{d^2}{4} + \tfrac{e^2}{4} - f}$

OK，用兩點就能馬上寫出**兩種圓方程式（標準式 & 一般式）**。最常見的設定是：以兩點 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 為**直徑端點**的圓。

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## (給你兩個點，求兩種圓方程式)

設

$$
M\Big(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\Big)\quad\text{(圓心)},\qquad
r=\tfrac12\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\quad\text{(半徑)}.
$$

### 1) 標準式

$$
\boxed{\;
\Big(x-\tfrac{x_1+x_2}{2}\Big)^2+\Big(y-\tfrac{y_1+y_2}{2}\Big)^2
=\tfrac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{4}\;}
$$

### 2) 一般式

展開可得

$$
\boxed{\;
x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y+\Big(\tfrac{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}{2}-\tfrac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{4}\Big)=0\;}
$$

也可寫成 $x^2+y^2+dx+ey+f=0$ 的型態，其中

$$
d=-(x_1+x_2),\quad e=-(y_1+y_2),\quad
f=\tfrac{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}{2}-\tfrac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{4}.
$$

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#### 補充：所有「經過 $A,B$ 的圓」的一般參數式（想更進階）

圓心在 $AB$ 的垂直平分線上。令

$$
\Delta x=x_2-x_1,\quad \Delta y=y_2-y_1,\quad
M=\Big(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\Big),
$$

取參數 $t\in\mathbb{R}$，則一族圓的圓心

$$
C(h,k)=\big(M_x-t\,\Delta y,\; M_y+t\,\Delta x\big),
$$

半徑

$$
r^2=(\Delta x^2+\Delta y^2)\Big(t^2+\tfrac14\Big).
$$

其**標準式**：

$$
\Big(x-(M_x-t\,\Delta y)\Big)^2+\Big(y-(M_y+t\,\Delta x)\Big)^2
=(\Delta x^2+\Delta y^2)\Big(t^2+\tfrac14\Big).
$$

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## 四、方程式圖形的三種情況

設 $D = d^2 + e^2 - 4f$

1. **$D > 0$** → 有實數半徑 → 圓
2. **$D = 0$** → 半徑 $r=0$ → 點
3. **$D < 0$** → 半徑為虛數 → 無圖形

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## 五、點與圓的關係

設圓心 $M(h,k)$、半徑 $r$，點 $P(x,y)$

$$
MP = \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2}
$$

1. $MP = r$ → $P$ 在圓上
2. $MP < r$ → $P$ 在圓內
3. $MP > r$ → $P$ 在圓外

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## 六、特殊圓：阿波羅尼斯圓

* 定義：平面上一點 $P$，與兩定點 $A,B$ 的距離比值為常數 $k>0$，即：

$$
\frac{PA}{PB} = k
$$
* 當 $k \neq 1$ → 所得圖形是一個圓，稱為**阿波羅尼斯圓**
* 當 $k=1$ → 所得圖形是一條垂直平分線

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## 七、應用：莫爾圓

* 工程力學中的一種工具，用來表示應力狀態。
* 可用於材料力學、土壤力學、建築結構強度分析。
* 透過繪製莫爾圓，可以清楚看到應力範圍，幫助判斷結構能否承受外力。

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