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title: 7圓與直線的關係判定

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# 圓與直線的關係判定

## 1. 代數判定法

* 聯立：將圓方程式與直線方程式聯立，通常代入消去得到一元二次方程式。
* 判別式：令 $D=b^2-4ac$

  * **$D>0$**：兩相異實數解 → 圓與直線相交於兩點（**相割**）
  * **$D=0$**：一個實數解（重根）→ 圓與直線相交於一點（**相切**）
  * **$D<0$**：無實數解 → 圓與直線不相交（**相離**）

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## 2. 幾何判定法

* 設圓：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，圓心 $M(h,k)$，半徑 $r$。
* 直線：$ax+by+c=0$
* 圓心到直線的距離：

  $$
  d=\frac{|ah+bk+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
  $$
* 判定：

  * **$d<r$** → 相割
  * **$d=r$** → 相切
  * **$d>r$** → 相離

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# 圓的切線

## 1. 過圓上一點的切線

* 圓：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$
* 圓上一點 $P(x_0,y_0)$
* 切線方程式（斜率法不好用時可直接套公式）：

  $$
  (x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=r^2
  $$

  化簡可得切線方程式：

  $$
  (x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=0
  $$

  或直接記公式：

  $$
  (x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=r^2
  $$

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## 2. 過圓外一點的切線

* 圓：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$
* 圓外一點 $P(x_1,y_1)$
* 作切線條件：$P$ 到切點 $Q(x,y)$ 滿足：

  * $Q$ 在圓上：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$
  * $PQ \perp MQ$
* 解聯立可得兩條切線方程式。
* 幾何觀察：過圓外一點 → **必有兩條切線**。

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## 3. 特殊情況

* 當切點在圓的最高點，切線與水平線平行。
* 一般而言，固定斜率 $m$，切線方程式設為 $y=mx+k$，利用「圓心到直線距離 = 半徑」即可解出 $k$（兩解 → 兩條切線）。

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👉 總結對照表：

| 方法       | 相割       | 相切      | 相離      |
| -------- | -------- | ------- | ------- |
| **代數判定** | $D>0$  | $D=0$ | $D<0$ |
| **幾何判定** | $d<r$ | $d=r$ | $d>r$ |

