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# **數學筆記｜實數**

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## **一、數系分類與子集合整理**

### 1. 實數 \$\mathbb{R}\$（Real Numbers）

ℝ（實數）  
├── ℚ（有理數）  
│   ├── ℤ（整數）  
│   │   ├── 正整數（自然數 ℕ⁺）  
│   │   ├── 0  
│   │   └── 負整數  
│   ├── 有限小數  
│   └── 循環小數  
└── 無理數

$$
\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \quad \text{或} \quad \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}
$$

$$
\mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}
$$

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## **二、根式與雙重根式**

### 1. 根式定義與化簡

* **根式**：含有根號（$\sqrt{\phantom{x}}$）的式子。

* **標準形式**：

$$
\frac{q\sqrt{n}}{p}
$$

* **化簡範例**：

$$
\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{（有理化分母）}
$$

### 2. 雙重根式

* 形如：

$$
\sqrt{a \pm \sqrt{b}}
$$
* **範例**：

$$
\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}
$$

因為：

$$
(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}
$$

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### 算幾不等式（AM ≥ GM）筆記

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#### 一、基礎定義

對任意正數 $a,b>0$：

$$
\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}, \quad \text{等號成立於 } a=b
$$

**應用原則**：

* 給定 $a+b$ 為定值 → 求 $ab$ 最大值
* 給定 $ab$ 為定值 → 求 $a+b$ 最小值

> 記憶口訣：「給相加求相乘最大值，給相乘求相加最小值」

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#### 二、基礎例題

1. $a+b=10， a,b>0$，求 $ab$ 最大值
2. $3a+4b=10， a,b>0$，求 $ab$ 最大值
3. $a^2+b^2=10， a,b>0$，求 $ab$ 最大值
4. $9a^2+16b^2=10， a,b>0$，求 $ab$ 最大值
5. $ab=10， a,b>0$，求 $a+b$ 最小值
6. $ab=10， a,b>0$，求 $3a+4b$ 最小值
7. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=10， a,b>0$，求 $ab$ 最小值
8. $ab=10, a,b>0$，求 $a+b$ 與 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 最小值

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#### 三、特殊例題與注意事項

##### 危險題型

**例題 1**：$ab=16$，求 $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$ 最小值

$$
\begin{aligned}
a+b &\ge 8, \quad (a,b)=(4,4)\\
a^2+b^2 &\ge 32, \quad (a,b)=(4,4)\\
\Rightarrow \text{最小值} &= 8 + 4\sqrt{2}
\end{aligned}
$$

> 可得出結論：若 $f(a,b)+g(a,b)$ 極值不同，不能簡單相加。

**例題 2**：$ab=16$，求 $3a+4b+\sqrt{a^2+b^2}$ 最小值

$$
\begin{aligned}
3a+4b &\ge 12\sqrt{3}, \quad (a,b)=(4\sqrt{3},3\sqrt{3})\\
\sqrt{a^2+b^2} &\ge \sqrt{32}, \quad (a,b)=(4,4)\\
\Rightarrow \text{最小值} &= 12\sqrt{3}+32
\end{aligned}
$$

> 兩項最小值發生在不同數對，需小心。

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#### 四、歷屆應用題

* **107學測選填C**：$\Delta PAB = \frac12 r\sqrt{25-r^2}$
使用算幾不等式判斷：

$$
\frac{r^2 + (25-r^2)}{2} = \frac{25}{2} \ge \sqrt{r^2(25-r^2)} \implies \frac{25}{4} \ge \frac12 \sqrt{r^2(25-r^2)}
$$

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#### 五、補充知識

1. **均值不等式**：

$$
HM \ge AM \ge GM \ge QM
$$

* $HM = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
* $AM = \frac{a+b}{2}$
* $GM = \sqrt{ab}$
* $QM = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

2. **高維度均值不等式**：

* 二維：$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
* 三維：$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
* N維：$\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$

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#### 六、例題解答

| 題號 | 最大/最小值 $Y^*$ | 發生點 $(a^*,b^*)$ |
| -- | ------------ | ---------------------------- |
| 1 | 25 | (5,5) |
| 2 | 25/12 | (5/3,5/4) |
| 3 | 5 | (√5,√5) |
| 4 | 5/12 | (√10/3,√10/4) |
| 5 | 2√10 | (√10,√10) |
| 6 | 4√30 | (2/3√30,1/2√30) |
| 7 | 1/25 | (1/5,1/5) |
| 8 | 2√10 | (√10,√10) & √10/5, (√10,√10) |

**特殊例題解答**：

| 題號 | 最大/最小值 | 發生點 |
| -- | ----------- | -------------- |
| 1 | 0 | (√10/3, √10/4) |
| 2 | 2 | x=1 |
| 3 | 1 | x=0 |
| 4 | 2 | cosx=1 或 x=0 |
| 5 | log2.5 | (2.5,1) |
| 6 | (log15/2)^2 | (√15, √15) |
| 7 | 2^(4√3) | (2√3, 2√3) |

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## **三、算幾不等式（AM ≥ GM）**

### 1. 基本形式

對任意正數 \$a,b\$：

$$
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$

### 2. 通用形式

對任意正數 $a_1, a_2, a_n$：

$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$

### 3. 相等成立條件

當且僅當所有數相等時，等號成立。

### 4. 應用例

證明：

$$
x + \frac{1}{x} \geq 2 \quad (x>0)
$$

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## **四、乘法公式總整理**

## 📌 平方 & 立方公式速查表

| 類別 | 公式 | 特徵 / 記憶法 |
| ---------- | ------------------------------------- | ------------------ |
| **和的平方** | $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | 正號不變，中間 $+2ab$ |
| **差的平方** | $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | 中間變號 $-2ab$，兩邊仍是平方 |
| **平方差** | $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ | 「前減後」可拆成「(差)(和)」 |
| **三數和的平方** | $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ | 各平方 + 所有兩兩乘積乘 2 |

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| 類別 | 公式 | 特徵 / 記憶法 |
| -------- | ------------------------------------- | ---------------------- |
| **和的立方** | $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | 係數 1 : 3 : 3 : 1 |
| **差的立方** | $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ | 正負交錯 $+\ -\ +\ -$ |
| **立方和** | $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ | 第一項是 $a+b$，第二項中間 $-ab$ |
| **立方差** | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ | 第一項是 $a-b$，第二項中間 $+ab$ |

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📍 **快速記憶技巧**

* 平方公式 → 係數只會出現 $1$ 和 $2$，中間項由乘積乘 2 得來。
* 立方公式 → 係數是二項式展開 $1:3:3:1$。
* 立方和 / 差公式 → 第一括號是「和或差」，第二括號是「平方和 ± 交叉項」。

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## **五、有理數性質**

### 1. 封閉性

有理數在加、減、乘、除（除以零除外）後，結果仍是有理數。

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## **六、循環小數化分數公式**

### 1. 純循環小數

設循環節長度為 $n$，循環數字為 $a$：

$$
x = 0.\overline{a}
$$

$$
10^n x = a.\overline{a}
$$

相減：

$$
10^n x - x = a
$$

$$
(10^n - 1)x = a
$$

$$
x = \frac{a}{10^n - 1}
$$

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### 2. 混循環小數

設：

* 非循環部分長度 = $m$，非循環數字 = $a$
* 循環部分長度 = $n$，循環數字 = $b$

$$
x = 0.a\overline{b}
$$

乘 $10^m$：

$$
10^m x = a.\overline{b}
$$

乘 $10^n$：

$$
10^{m+n} x = ab.\overline{b}
$$

相減：

$$
10^{m+n}x - 10^m x = ab - a
$$

$$
10^m(10^n - 1)x = ab - a
$$

$$
x = \frac{ab - a}{10^m(10^n - 1)}
$$

* $a$ = 非循環部分的整數（沒有小數點）
* $b$ = 循環部分（沒有小數點）
* $m$ = 非循環位數
* $n$ = 循環位數

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## **七、有理數的稠密性**

1. **有理點**
每一個有理數在數線上有唯一對應的點。

2. **稠密性**
對任意兩個相異有理數 \$r\_1 < r\_2\$，存在有理數 \$r\$ 滿足：

$$
r_1 < r < r_2
$$

例如：

$$
r = \frac{r_1 + r_2}{2}
$$

3. **延伸**
在任意兩個不同的有理數之間，有無限多個有理數。

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