# 多項式的基本概念

在國中時，我們學過：凡是形如

$$
a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0
$$

的式子，稱為 **$x$ 的多項式**。
其中 $n$ 為非負整數，$a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ 為實數。
常用 $f(x), g(x)$ 等符號來代表 $x$ 的多項式。

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## 名詞複習

以多項式

$$
f(x) = 5x^3 + x^2 - 2x + 4
$$

為例：

1. **項 (term)**

* 三次項：$5x^3$
* 二次項：$x^2$
* 一次項：$-2x$
* 常數項：$4$

2. **係數 (coefficient)**

* 三次項係數：5
* 二次項係數：1
* 一次項係數：-2
* 常數項係數：4

3. **次數 (degree)**

* $5x^3$ 為最高次項，因此 $\deg f(x) = 3$
* $f(x)$ 為三次多項式，首項係數為 5

4. **多項式的值 (value)**
當 $x = a$ 時，多項式的值為 $f(a)$。
例如：

$$
f(1) = 5(1)^3 + (1)^2 - 2(1) + 4 = 8
$$

特別地：

* 若 $f(x) = c$（常數），稱為**常數多項式**。
* 若 $f(x) = 0$，稱為**零多項式**（不規定次數）。

5. **多項式相等**
當兩多項式的次數相同，且同次項的係數都相等時，稱這兩個多項式相等。
等價地，對任意實數 $a$，都有 $f(a) = g(a)$。

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## 多項式的四則運算

1. **加法與減法**

* 把同次項的係數相加或相減。

2. **乘法**

* 單項式乘法：$(2x^2)(3x^4) = 6x^6$
* 多項式乘法：利用分配律展開。

3. **除法**
設 $f(x), g(x)$ 為多項式，且 $g(x) \neq 0$。
可找到唯一的多項式 $q(x)$（商式）與 $r(x)$（餘式），使得：

$$
f(x) = g(x)q(x) + r(x),
$$

且 $r(x) = 0$ 或 $\deg r(x) < \deg g(x)$。

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## 綜合除法注意事項

1. **除式為 $x-a$ 時**
算式右側要用 $a$ 當乘數。

2. **操作方式**
每一列與下一列相加得到新一列。

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## 餘式定理

多項式 $f(x)$ 除以一次式 $x-b$ 的餘式等於 **$f(b)$**。

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## 因式定理

設 $f(x)$ 為多項式，$a-b$ 為一次多項式。

1. 若 $f(b) = 0$，則 $x-b$ 是 $f(x)$ 的因式。
2. 若 $x-b$ 是 $f(x)$ 的因式，則 $f(b) = 0$。

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## 因式定理的推廣

若 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 是 $n$ 個不同的實數，且多項式 $f(x)$ 滿足

$$
f(a_1) = f(a_2) = \cdots = f(a_n) = 0,
$$

則

$$
(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)
$$

是 $f(x)$ 的因式。

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