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# System prepended metadata

title: Formulario CPS

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# Formulario CPS

## Probabilità
- ### Probabilità condizionata
$$    
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$$
- ### Formula condizionamento ripetuto
$$
P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2\cap A_1) P(A_4|A_1\cap A_2\cap A_3)
$$
- ### Formula di fattorizzazione
$$
P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)
$$
- ### Probabilità delle cause
$$
P(B_1 | A) = \frac{P(A | B_1)P(B_1)}{P(A)}
$$
- ### Probabilità delle cause con fattorizzazione
$$
P(B_1 | A) = \frac{P(A | B_1)P(B_1)}{P(A | B_1) P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)}
$$
- ### Indipendenza
$$
P(A|B) = P(A) \\
P(B|A) = P(B) \\
P(A\cap B) = P(A) P(B)
$$
- ### Eventi incompatibili
  Due eventi si dicono incompatibili se al verificarsi di uno non si può verificare l'altro
$$
A\cap B = \emptyset 
$$
 Se si verifica A allora non si verifica B e viceversa

## Variabili aleatorie discrete e con densità
- ### Discreta
  Dato un insieme finito o numerabile di punti $x_1, x_2, x_3, \ldots$ si ha che:
$$
p(x_i) = P(\{x_i\}) \\
p(x_i) \ge 0 \\
p(x_1) + p(x_2) + \ldots = 1 \\
P(A) = \sum_{x_i\in A}p(x_i) \quad A\text{ è un evento}
$$
  - #### Funzione di massa o densità discreta
  $$
  p(x) = \begin{cases} p(x_i) \quad se\:\: x=x_i \\ 0\quad se \:\: x_i\; \text{non è uno dei punti} \; x_1,x_2,\ldots\end{cases}
  $$
- ### Con densità
  - #### Densità
  $$
  f(x) \ge 0 \\
  \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) x = 1
  $$
  Definita solo su insiemi misurabili
- ### Funzione di ripartizione (c.d.f.)
  $$
  F_X : \mathbb{R} \rightarrow [0,1]\\
  F_X(x) = P(X\le x)
  $$
  - #### Proprietà
    - Crescrente
    $$
    x<y \Rightarrow F(x)<F(y)
    $$
    - Limiti all'infinito
    $$
    \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x) = 0 \\
    \lim_{x\rightarrow +\infty} F(x) = 1 \\
    $$
    - $F$ è continua a destra
    $$
    y>=x\\
    \lim F(y) = F(x)
    $$
  - #### Discrete
  $$
  F_X(x) = P(X\le x) = \sum_{x_i\le x}p(x_i)
  $$
  - #### Con densità
    Se $X$ è con densità allora $F_X(x)$ è continua
  $$
  F_X(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
  $$
  - #### Calcolo su $h(X)$ formula per trovare la densità
    Data $X$ con densità deversa da $0$ su un intervallo $A$ e $h:A\rightarrow B$
    Se $h$ è **biunivoca derivabile e con inversa derivabile** allora
    $$
    Y=h(X) \quad \text{ha densità:}\\
    f_Y(y) = \begin{cases} f_X(h^{-1}(y))\cdot |{dh^-1(y)\over dy}| \quad y \in B \\
    0 \quad y \not\in B \\
    \end{cases}
    $$
    Se invece abbiamo che non valgono le proprietà di $h$ allora si procede cercando la funzione di ripartizione di $Y$ e derivandola.
    $$
    F_Y(y) = P\{Y\le y\} = P\{h(X) \le y\}
    $$
    L'idea è quella di riscrivere la $P\{h(X) \le y\}$ come per avere solo $X$ es. $P\{X^2 \le y\} = P\{-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}\}$ e a questo punto si applica la funzione di ripartizione  di $X$ di base. Il risultato sarà la funzionedi ripartizione di $Y$ e possiamo quindi derivare per ottenere la densità.
## Quantile
  è un numero $r$ tale che 
  $$
  P(X\le r) \ge \beta \\
  P(X\ge r) \ge -\beta\\
  $$
  lo si trova con la funzione di ripartizione
  $$
  P(X\le r_\beta) = F(r_\beta) = \beta
  $$

## Variabili aleatorie doppie
- ### Densità
  $$
  P_{X, Y}(A) = P\{(X, Y(\in A\}
  $$
  
- ### Con densità
  $$
  P_{X, Y}(A) = P\{(X, Y(\in A\}
  $$

## Formule generali

- ### Convoluzione discreta
  Date due variabili aleatorie $X$ e $Y$ **indipendenti** possiamo stabilire quanto vale $Z = (X+Y)$ mediante la formula
$$
p_z(m) = \sum_{h=0}^{m}p_x(h)p_y(m-h)
$$
Nota
se ho due variabili di Poisson indipendenti di parametri $\lambda$ e $\mu$ la somma è la variabile di Poisson di parametro $\lambda+\mu$
se ho due variabili binomiali indipendenti di parametri $(n, p)$ e $(m, p)$ la somma è la variabile binomiale di parametri $(n+m,\ p)$
se ho due variabili gaussiane indipendenti di parametri $(m_1, \sigma_1)$ e $(m_2, \sigma_2)$ la somma è la variabile gaussiana di parametri $(m_1+m_2,\ \sigma_1+\sigma_2)$

- ### Convoluzione con densità
Date due variabili aleatorie $X$ e $Y$ **indipendenti** possiamo stabilire quanto vale $Z = (X+Y)$ mediante la formula
$$
f_z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_x(x)f_y(z-x)\; dx
$$
ma anche
$$
f_z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_y(y)f_x(z-y)\; dy
$$

- ### Valore atteso
  - #### Se $X$ e $Y$ sono **indipendenti** vale
    $$
    E[XY] = E[X]E[Y]
	  $$
  - #### Generica $X$ discreta
    $$
    E[X] = \sum_i x_i\;p(x_i)
	  $$
  - #### Generica $X$ discreta e $Y=g(X)$
    $$
    E[g(X)] = \sum_i g(x_i)\;p(x_i)
	  $$
  - #### Generica $X$ con densità
    $$
    E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\; dx
    $$
  - #### Generica $X$ con densità e $Y=g(X)$
    $$
    E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\; dx
    $$
  - #### $X$ binomiale $B(n,p)$
    $$
    E[X]=\sum_{h=0}^n h {n \choose h} p^h(1-p)^{n-h}=np
    $$
  - #### $X$ geometrica da parametro $p$
    $$
    E[X]=\sum_{h=0}^\infty h(1-p)^{h-1}p
    $$
  - #### $X$ esponenziale da parametro $\lambda$
    $$
    E[X]=\int_0^\infty x \lambda e ^{-\lambda x}\; dx
    $$
- ### Varianza e covarianza
  - #### Varianza
    $$
    Var(X) = E[X^2]-E[X]^2
    $$
    Nelle variabili gaussiane abbiamo che $Var(X)=\sigma^2$
    Nota
    Se $X$ è costante allora vale $0$
    
    - ##### Binomiale
      $$
      Var(X) = np(1-p)
      $$
      
- ### Covarianza
    $$
    Cov(X, Y) = E[XY]-E[X]\;E[Y]
    $$
    Nelle variabili gaussiane abbiamo che $Var(X)=\sigma^2$
    Nota
    Se $X$ e $Y$ sono indipendenti allora vale $0$
  - #### Varianza della somma
    $$
    Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y)
    $$
    $$
    Var(X+Y) = E[(X+Y)^2]-E[(X+Y)]^2
    $$
## Variabili aleatorie
- ### Deinsità uniforme su $[a, b]$
  $$
  f(x) = \begin{cases} {1\over b-a} \quad se \:\: a\le x \le b \\
  0 \quad \text{altrove}
  \end{cases}
  $$
  - #### Funzione di ripartizione
    $$
    F(x) = \begin{cases} 0 \quad x\le a \\
    {x-a \over b-a} \quad a<x\le b \\
    1 \quad x>b
    \end{cases}
    $$
- ### Binomiale
  Corrisponde a ripetere un test un numero finito di volte.
$$
B(n, p) \\
P(X=k)\; = \; {n\choose k} \ p^k \ (1-p)^{n-k}
$$
Dove $p$ è la probabilità di avere un successo e $n$ è il numero di estrazioni.
Se $X \rightarrow B(n, p)$ e $Y \rightarrow B(m, p)$ indipendenti e con stesso $p$ allora $(X+Y) \rightarrow B(n+m, p)$

- ### Geometrica
  Corrisponde a ripetere un test finché non ha esito positivo.
$$
G(p) \\
P(X=k)\; = \; (1-p)^{k-1}\ p
$$
Dove $p$ è la probabilità di avere successo.
Non ha memoria quindi $P(X\le s+k \;| \; X\ge s) = P(X \le k)$, quindi non ci interessa quandi fallimenti diamo per scontato siano accaduti.

- ### Poisson
  $$
  \mathcal{P}({\lambda})\\
  {\displaystyle P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}
  $$
Dove $\lambda$ è il numero medio di eventi per intervallo di tempo.
Se $X \rightarrow \mathcal{P}(\lambda_1)$ e $Y \rightarrow \mathcal{P}(\lambda_2)$ indipendenti allora $(X+Y) \rightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2)$
   
- ### Esponenziale
  Con parametro $\lambda$>0. $\lambda$ è il valore che la funzione assume in 0 per poi descrescere.
$$
\mathcal{E}(\lambda) \\
\mathcal{f}(x)=\biggl\{\begin{array}{rl}\lambda e^{-\lambda x} & x\geq0\\0 & x<0\end{array}
$$
  Non ha memoria quindi $P(X\le s+k \;| \; X\ge s) = P(X \le k)$, quindi non ci interessa quandi fallimenti diamo per scontato siano accaduti.
  
- ### Gaussiana
  Sarebbe la distribuzione normale. 
$$
N(m, \sigma^2) \\
\phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\ e ^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}
$$

  La sua versione più importante è quella con $m = 0$ e $\sigma =1$
$$
N(0, 1) \\
\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e ^{-\frac{x^2}{2}}
$$
Mentre la funzione di ripartizione associata è
$$
\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2 \over 2}dt
$$
  Per calcolare la funzione di ripartizione $\Phi(x)$ si usa la tavola $N(0, 1)$ mettendo come input il punto $x$ del piano.
  Per calcolare il quantile $q_\alpha$ della gaussiana standard ci affidiano nuovamente alla tavola:
  Se ${1\over 2}<\alpha \le 1$ allora si può cercare $\alpha$ direttamente, altrimenti se $0 < \alpha \le {1\over 2}$ si usa l'equazione $q_{1-\alpha} = -q_{\alpha}$ e quindi $q_{\alpha} = -q_{1-\alpha}$
  Per convertire una funzione $m, \sigma$ in $0, 1$ bisogna utilizzare una variabile aleatoria di conversione
$$
Y=\sigma X +m
$$
e da qui possiamo convertire le coordinate $x$ della prima nella seconda e viceversa
$$
y=\sigma x +m \\
x = \frac{y-m}{\sigma}
$$
Per i quantili vale la stessa roba: dato $q_\beta$ coordinata $x$ del quantile $\beta$ associato alla variabile standard $X$, possiamo ricavare $r_\beta$ coordinata $y$ dello stesso quantile $\beta$ ma in $Y$ con la formula di prima, e quindi ci basta trovare subito il quartile in $X$
$$
r_\beta=\sigma q_\beta + m
$$
Se $X \rightarrow N(m_1, \sigma_1^2)$ e $Y \rightarrow N(m_2, \sigma_2^2)$ indipendenti allora $(X+Y) \rightarrow N(m_1+m_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$
Abbiamo anche la regola della concentrazione dei dati
Se $Y$ è $N(m, \sigma^2)$ abbiamo che:
$$
P\{ m-\sigma \le Y \le m+\sigma \} \approx 0.68 \\
P\{ m-2\sigma \le Y \le m+2\sigma \} \approx 0.94 \\
P\{ m-3\sigma \le Y \le m+3\sigma \} \approx 0.997 \\
$$



### Funzione generatrice

- #### Discreta
  $$
    G_x(t) = \sum_{x_i} e^{tx_i}p(x_i)
  $$
  Esiste $\forall t \in \mathbb{R}$

- #### Con densità
  
  Richiede che $f_x$ sia limitata: $(sup(f_x) = M < +\infty)$
  e che $f_x \not= 0$ su un insieme limitato
  (entrambe condizioni sufficienti)
  $$
  G_x(t) = \sum_{x_i} e^{tx_i}p(x_i)
  $$
  Esiste $\forall t \in \mathbb{R}$

- #### Esistenza momenti
  Se $G_x(t)$ è definita su $-\epsilon $