Special Math Session

# Special Math Session (with Kak Arnold) ## 6 Oktober 2024 ### Counting, Combinatorics, Inclusion Exclusion #### Soal 1 Diberikan pin ATM yang terdiri dari 5 digit angka. Ada berapa banyak konfigurasi pin yang mungkin apabila : a. Digit ke-5 harus merupakan bilangan ganjil <details> <summary>Jawaban</summary> 50000 </details> b. Digit ke-1 dan ke-5 harus merupakan bilangan ganjil <details> <summary>Jawaban</summary> 25000 </details> c. Semua digitnya harus berbeda <details> <summary>Jawaban</summary> 30240 </details> d. Semua digitnya harus berbeda dan digit ke-5 harus merupakan bilangan ganjil <details> <summary>Jawaban</summary> 15120 </details> e. Semua digitnya harus berbeda, digit ke-5 harus merupakan bilangan genap, dan digit pertama tidak boleh 0 <details> <summary>Jawaban</summary> Bagi jadi dua kasus : jika digit terakhir = 0 dan digit terakhir ≠ 0 13776 </details> f. Semua digitnya harus berbeda dan angka 1 dan angka 2 harus terletak bersebelahan <details> <summary>Jawaban</summary> Bagi jadi dua kasus : Jika tidak ada angka 1 dan 2 maupun Ada angka 1 dan angka 2 9408 </details> g. Semua digitnya harus berbeda dan angka 1 dan angka 2 TIDAK BOLEH terletak bersebelahan <details> <summary>Jawaban</summary> Hitung semua kemungkinan dikurangi kemungkinan 1 dan 2 bersebelahan 100000 - 2688 = 97312 </details> --- ### Soal 2 7 orang KC Troops hendak berbaris untuk mengambil sembako. Sebut saja namanya Anderson, Boris, Crista, Diamente, Essevan, Flocker, dan Genderwald ~~(biar namanya gak mainstream kayak Andi, Budi, dst)~~. Tentukan ada berapa banyak susunan barisan yang mungkin jika : a. Tidak ada syarat <details> <summary>Jawaban</summary> Introduction to factorial 7x6x5x4x3x2x1 = 7! = 5040 </details> b. Anderson harus bersebelahan dengan Boris <details> <summary>Jawaban</summary> 6! 2! = 1440 </details> c. Diamente, Essevan, dan Flocker harus berdiri dalam satu kelompok <details> <summary>Jawaban</summary> 5! 3! = 720 </details> d. Anderson dan Boris harus bersebelahan. Diamente, Essevan, dan Flocker harus berdiri dalam satu kelompok <details> <summary>Jawaban</summary> 4! 2! 3! = 288 </details> e. Anderson dan Boris tidak boleh bersebelahan <details> <summary>Jawaban</summary> Semua kemungkinan dikurangi AB bersebelahan 7! - 6!2! = 3600 </details> f. Kondisi kondisi berikut harus terpenuhi : - Anderson dan Boris tidak boleh bersebelahan - Crista dan Diamente harus bersebelahan - Essevan harus berdiri di paling depan barisan - Flocker dan Essevan tidak boleh bersebelahan <details> <summary>Jawaban</summary> Hitung kasus kasus berikut : <ul> <li>Kasus 1 : E di paling depan, CD bersebelahan</li> <li>Kasus 2 : Kasus 1 namun AB bersebelahan</li> <li>Kasus 3 : Kasus 1 namun EF bersebelahan</li> <li>Kasus 4 : Kasus 1 namun AB bersebelahan dan EF bersebelahan</li> </ul> Jawaban akhir adalah Kasus 1 - Kasus 2 - Kasus 3 + Kasus 4 Kasus 1 : E CD _ _ _ _ 5! 2! = 240 Kasus 2 : E CD AB _ _ 4! 2! 2! = 96 Kasus 3 : EF CD _ _ _ 4! 2! = 48 Kasus 4 : EF CD AB _ 3! 2! 2! = 24 Jawaban = 240 - 96 - 48 + 24 = 120 </details> <details> <summary>Fun Fact</summary> Diambil dari soal OSN-K 2019 </details> g. Hanya boleh 5 orang yang menerima sembako <details> <summary>Jawaban</summary> Intro to permutasi 7x6x5x4x3 = 7! / 2! = 7! / (7-5)! = 7P5 = 2520 </details> --- ### Soal 3 Kamu diberikan 6 buah bola yang terdiri dari 3 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola kuning Tentukan banyak susunan yang mungkin dibentuk dari bola bola tersebut <details> <summary>Jawaban</summary> Intro to permutasi unsur sama </details> --- ### Soal 4 Diberikan 4 buah ember dan 10 buah bola **identik/sama**. Hitunglah banyak cara untuk membagi bola-bola tersebut ke dalam ember dimana : a. Tidak ada syarat <details> <summary>Jawaban</summary> Intro to stars and bars 13! / (10! 3!) = 286 </details> b. Setiap ember harus memiliki **setidaknya** satu bola <details> <summary>Jawaban</summary> 9! / (6! 3!) = 84 </details> c. Syarat syarat berikut harus dipenuhi : - Ember pertama harus memiliki setidaknya 1 bola - Ember kedua harus memiliki setidaknya 2 bola <details> <summary>Jawaban</summary> 10! / (7! 3!) = 120 </details> d. Banyak bola di setiap ember harus berjumlah genap (catatan : 0 juga termasuk genap) <details> <summary>Jawaban</summary> 8! / (5! 3!) = 56 </details> e. Sekarang, bola-bola tersebut ditambah menjadi 20 bola. Tentukan banyak susunan yang mungkin apabila kondisi-kondisi berikut harus dipenuhi : - Setiap ember harus memiliki **lebih dari** 1 bola - FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari banyak bola dari semua ember **harus** bernilai $1$ (dengan kata lain $FPB(ember_1, ember_2, ember_3, ember_4) = 1$) <details> <summary>Jawaban</summary> Hitung semua kemungkinan dikurangi kalau FPB = 2 dan FPB = 5 Semua kemungkinan : 19! / (16! 3!) = 969 Jika FPB = 2 maka : 9! / (6! 3!) = 84 Jika FPB = 5 maka hanya ada 1 susunan Jawaban : 969 - 84 - 1 = 884 </details> --- ### Soal 5 10 orang siswa dari SMA Kokocoder Sehat Sejahtera akan mengikuti seleksi sekolah untuk menjadi perwakilan sekolah dalam OSN 2025. Apabila hanya ada $4$ siswa yang boleh dikirim dari sekolah, berapa banyak kemungkinan konfigurasi yang mungkin sebagai perwakilan? <details> <summary>Jawaban</summary> Intro to combination : 10x9x8x7 / 4x3x2x1 = 10! / (10-4)! 4! = 10C4 </details> --- ### Soal 6 15 siswa di kelas yang terdiri dari **9 orang perempuan** dan **6 orang laki-laki** hendak mengikuti pertandingan bola basket campuran. Untuk itu mereka harus memilih perwakilan 5 orang siswa untuk menjadi perwakilan. Tentukan banyaknya perwakilan yang mungkin apabila : a. Harus terdapat 3 orang perempuan dan 2 orang laki-laki <details> <summary>Jawaban</summary> 9C3 x 6C2 = 84 x 15 = 1260 </details> b. Harus terdapat **setidaknya** 3 orang laki-laki <details> <summary>Jawaban</summary> Bagi jadi 3 kasus : <ul> <li>Terdapat 3 laki laki : 9C2 x 6C3 = 36 x 20 = 720</li> <li>Terdapat 4 laki laki : 9C1 x 6C4 = 9 x 15 = 135</li> <li>Terdapat 5 laki laki : 9C0 x 6C5 = 6</li> </ul> Jawaban = 720 + 135 + 6 = 861 </details> c. Harus terdapat **setidaknya** 1 orang laki-laki <details> <summary>Jawaban</summary> Bisa dibagi kasus, tapi lebih cerdik kalau kita menghitung semua kemungkinan (bebas) dikurangi tidak ada laki-laki 15C5 - 9C5 = 3003 - 126 = 2877 </details> --- ## Latihan Soal Tambahan untuk Latihan Mandiri dan pengayaan ### Soal 1 Pada suatu balap mobil diketahui ada 5 pembalap yang ikut serta. Jika tidak ada yang start bersamaan berapa kemungkinan urutan finish jika: a. Tidak ada yang finish bersamaan b. Tidak ada yang finish bersamaan dan pembalap yang start pada posisi ganjil harus finish pada posisi ganjil juga c. Tidak ada yang finish bersamaan dan pembalap yang start pada posisi genap tidak boleh finish pada posisi genap --- ### Soal 2 Dalam sebuah ruang terdapat 6 komputer dan 2 kabel yang identik. Sebuah kabel dapat menghubungkan tepat 2 komputer. Dua komputer hanya dapat terhubung oleh maksimal 1 kabel. Ada berapa macam pemasangan kabel yang mungkin dalam ruangan tersebut? --- ### Soal 3 Sebuah toko menjual donat dengan rasa yang berbedabeda. Terdapat 4 jenis rasa donat yang dijual, yaitu Stroberi, Coklat, Vanilla, dan Cappucino. Pak Dengklek ingin membeli 4 buah donat. Berapa banyak kemungkinan Pak Dengklek untuk membeli donatdonat tersebut? --- ### Soal 4 Pada sebuah pesta pernikahan terdapat 100 pasangan suami istri. Setiap suami tidak akan bersalaman dengan istrinya sendiri. Berapa jumlah salaman yang terjadi dalam pesta itu? --- ### Soal 5 Ada berapa buah bilangan dari 1 sampai 10000 (inklusif) yang memiliki minimal 1 buah digit `1`? --- ### Soal 6 Kartu bridge berjumlah 52 buah kartu yang terdiri dari 4 macam daun dan 13 nilai. Daun tersebut meliputi sekop, keriting, hati, dan diamond, sedangkan nilainya meliputi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, dan A. Dalam permainan fivecard draw, setiap orang mendapatkan 5 buah kartu. a. Terdapat istilah Four of Kind, yaitu kondisi dimana seseorang memiliki 4 buah kartu yang dengan nilai yang sama. Banyaknya kemungkinan terjadinya Four of Kind adalah ... b. Terdapat istilah Full House yaitu kondisi dimana seseorang memiliki 3 kartu dengan nilai X dan 2 kartu dengan nilai Y, di mana X tidak sama dengan Y. Banyaknya kemungkinan terjadinya Full House adalah ... --- ### Soal 7 Berapa banyak untaian bit dengan panjang 10 yang diawali 000 atau diakhiri 1111? --- ### Soal 8 Empat pasang suami istri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok istri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Banyaknya cara memberikan tempat duduk kepada mereka adalah ... --- ### Soal 9 Kartu bridge berjumlah 52 buah kartu yang terdiri dari 4 macam daun dan 13 nilai. Daun tersebut meliputi sekop, keriting, hati, dan diamond; sedangkan nilainya berurutan meliputi 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, dan A. Budi sedang memainkan five-card draw, yaitu permainan kartu di mana setiap orang mendapatkan 5 buah kartu. Budi mulai mengambil kartu dari tumpukan kartu satu persatu. Setelah dia mengambil dua kartu, dia mendapat 2H dan 5H (H berarti hati). Pada kondisi sekarang, berapakah probabilitas Budi akan mendapatkan straight flush, yaitu susunan 5 kartu di mana nilainya berurutan dan daunnya sama semua? --- ### Soal 10 Peserta Indonesia yang berangkat ke ajang lomba Cerdas Tangkas terdiri dari 5 orang. Untuk dapat berangkat ke lomba tersebut, setiap peserta harus lolos seleksi. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang berhasil lolos seleksi untuk menjadi peserta lomba. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit satu orang peserta adalah wanita, berapa banyaknya cara memilih peserta lomba? --- ### Soal 11 Berapa banyak string 10 bit yang banyaknya bit 1 string tersebut sama dengan banyaknya bit 0? Catatan: bit adalah digit bilangan biner (0 dan 1). --- ### Soal 12 Terdapat 4 bilangan bulat $x_1, x_2, x_3$, dan $x_4$. Jika : - $x_1 + 3 ≤ x_2$ - $x_2 ≤ x_3$ - $x_3 + 5 ≤ x_4$ - $1 ≤ x_1, x_2, x_3, x_4 ≤ 40$, maka banyaknya kemungkinan $x_1, x_2, x_3$, dan $x_4$ yang berbeda adalah: --- ### Soal 13 Dalam sebuah angka yang terdiri dari 6 digit, berapakah banyak bilangan yang semua digitnya berbeda dan harus menaik? (digit pertama tidak boleh nol) --- ### Soal 14 Sebuah kunci kombinasi terdiri dari 7 angka. Setiap angka dapat bernilai 0 - 9. Angka terakhir selalu lebih besar dari angka-angka sebelumnya. Angka pada setiap digit selalu berbeda dengan angka pada digit yang lain. Ada berapa kemungkinan berbeda kombinasi 7 angka tersebut? --- ### Soal 15 Berapa banyak cara berbeda untuk mengisi lantai sebuah ruangan berukuran 2x8 dengan menggunakan ubin berukuran 2x1, jika harus terdapat tepat 2 ubin yang dipasang secara vertical? --- _The best thing to improve yourself is to put your knowledge into practice_ ![giphy (9)](https://hackmd.io/_uploads/r1I4fIJk1l.gif) ## 💪 がんばってください 💪