## Penurunan Rumus *cepat* Rata-Rata
### Author : Sayed Aulia

> Anda hanya perlu menggunakan rumus yang ditulis di paling bawah dan mengabaikan sisanya.

Diberikan suatu tabel dengan $n$ buah data sebagai berikut:

| Tepi Bawah | Tepi Atas | Frekuensi |
| -------- | -------- | -------- |
| $l_1$ | $r_1$ | $f_1$ |
| $l_2$ | $r_2$ | $f_2$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $l_n$ | $r_n$ | $f_n$ |

Dengan $l_i$, $r_i$, dan $f_i$ adalah masing-masing tepi bawah, tepi atas, dan frekuensi dari data ke-$i$. Tentukan nilai rata-ratanya!

## Solusi
Anggaplah nilai tengah dari satu data $i$ sebagai $\overline{x_i} = (l_i + r_i)/2$. Kita tahu bahwa nilai rata-rata dari suatu data kelompok diberikan dalam rumus $$\frac{\sum_{i = 1}^{n} \overline{x_i}f_i}{ \sum_{i=1}^{n} f_i}$$
Menggunakan rumus ini kita akan dapatkan hasil yang kita inginkan, akan tetapi rumus ini membutuhkan banyak sekali perhitungan khususnya pada bagian perhitungan jumlah $\overline{x_i}f_i$. Namun untungnya kita dapat menyingkatnya!

Observasi yang penting untuk mempersingkat perhitungan adalah nilai $x_i$ memiliki pola tertentu yakni untuk setiap $2 \le i \le n$ nilai $x_i$ memiliki pola berbentuk:
$$x_i = x_{i-1} + p$$ di mana $p$ adalah interval dari tepi atas dan tepi bawah yang diberikan dalam persamaan $p = r_i - l_i + 1$. Sadar bahwa untuk setiap nilai $i$ akan menghasilkan nilai $p$ yang sama. Demikian kita dapat menuliskan setiap $x_i$ dalam satu variabel saja yakni $x_1$ sebagai berikut $$x_2 = x_1 + p \\ x_3 = x_1 + 2p \\ \vdots \\ x_n = x_1 + (n-1)p$$ Menggunakan fakta ini kita dapat menuliskan ulang penjumlahan $\overline{x_i}f$ sebagai berikut: \begin{equation}
\sum_{i = 1}^{n} \overline{x_i}f_i = x_1f_1 + (x_1 + p)f_2 + \dots + (x_1 + (n-1)p)f_n \\ = x_1f_1 + (x_1f_2 + pf_2) + \dots + (x_1f_n + (n-1)pf_n) \\ = (x_1f_1 + x_1f_2 + \dots x_1f_n) + (pf_2 + 2pf_3 + \dots + (n-1)pf_n)
\end{equation}
Memfaktorkan ekspresi terakhir kita dapatkan:
$$\sum_{i = 1}^{n} \overline{x_i}f_i = x_1(f_1 + f_2 + \dots + f_n) + p(f_2 + 2f_3 + \dots (n-1)f_n)$$ Mensubtitusikan nilai tersebut ke rumus rata-rata kita dapatkan: \begin{equation}
\frac{\sum_{i = 1}^{n} \overline{x_i}f_i}{\sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{x_1(f_1 + f_2 + \dots + f_n) + p(f_2 + 2f_3 + \dots + (n-1)f_n)}{f_1 + f_2 + \dots f_n}
\end{equation}

Sadar bahwa kita dapat mencoret $f_1 + f_2 +\dots + f_n$, kita dapatkan rumus akhir rata-rata sebagai: $$x_1 + p\left(\frac{f_2 + 2f_3 + \dots + (n-1)f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n}\right)$$

Rumus ini dapat lebih mengurangi jumlah perhitungan karena nilai $x$ yang digunakan hanyalah nilai $x_1$ dan hanya dipakai sebagai penjumlahan. *Q.E.D*