# 一道物理题 #1

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## 题面

足够长的水平传送带右侧有一段与传送带上表面相切的光滑圆弧轨道，质量为 $M＝2\rm{kg}$ 的小木盒从离圆弧底端 $h＝0.8\rm{m}$ 处由静止释放，滑上传送带后作减速运动，$1\rm{s}$ 后恰好与传送带保持共速。传送带始终以速度大小 $v$ 逆时针运行，木盒与传送带之间的动摩擦因数为 $\mu＝0.2$，木盒与传送带保持相对静止后，先后相隔 $T＝5\rm{s}$，以 $v_0＝10\rm{m/s}$ 的速度在传送带左端向右推出两个完全相同的光滑小球，小球的质量 $m＝1\rm{kg}$。第 $1$ 个球与木盒相遇后，球立即进入盒中并与盒保持相对静止，第 $2$ 个球出发后历时 $\Delta t＝0.5\rm{s}$ 与木盒相遇。取 $g＝10\rm{m/s}^2$，求：


（1）传送带运动的速度大小 $v$，以及木盒与第一个小球相碰后瞬间两者共同运动速度大小 $v_1$；
（2）第 $1$ 个球出发后经过多长时间与木盒相遇；
（3）从木盒与第 $1$ 个球相遇至与第 $2$ 个球相遇的过程中，由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量。

## 解析

(1)

设木盒到达传送带时的速度为 $v_M$，由动能定理得

$$\frac{1}{2}M{v_M}^2=Mgh$$

设木盒在与传送带共速前的加速度为 $a$，由运动学公式和牛顿第二定律得

$$\begin{cases}
v_M-at=v\\
\mu Mg=Ma
\end{cases}$$

在第 $1$ 个球与木盒相遇过程中，系统动量守恒，由动量守恒定律得

$$-mv_0+Mv_M=mv_1+Mv_1$$

联立解得 $v=2\rm{m/s},v_1=-2\rm{m/s}$。即传送带运动的速度大小为 $2\rm{m/s}$，木盒与第一个小球相碰后瞬间速度大小为 $2\rm{m/s}$。

(2)

设第 $1$ 个球出发后 $t_0$ 与木盒相遇，并在此时经过了 $s_0$ 的路程，则 $v_0t_0=s_0$。

相遇后瞬间，木盒与小球组成的系统的速度 $v_1=-2\rm{m/s}$。设该系统在相遇后加速度为 $a$，经过 $t_1$ 时间与传送带共速，由牛顿第二定律和运动学公式得

$$\begin{cases}
v_1+at_1=v\\
\mu (M+m)g=(M+m)a
\end{cases}$$

解得 $t_1=2\rm{s}$，且由运动学公式可得该段时间系统的位移为 $x=\dfrac{1}{2}(v_1+v)t_1=0$。设系统与传送带共速后经过 $t_2$ 时间与第 $2$ 个球相遇，由题意可知

$$\begin{cases}
t_0+t_1+t_2=T+\Delta t\\
s_0-x=v_0\Delta t +vt_2
\end{cases}$$

解得 $t_0=1\rm{s}$。即第 $1$ 个球出发后经过 $1\rm{s}$ 与木盒相遇。

(3)

设第 $1$ 个小球与木盒相遇后，与传送带的相对速度为 $v^\prime$，与传送带的相对加速度为 $a^\prime$。由 (2) 和题意可知 $v^\prime=-4\rm{m/s},a^\prime=2\rm{m/s}$。

由运动学公式可知小球与木盒组成的系统与传送带的相对路程 $S=\dfrac{{v^\prime}^2}{2a^\prime}=4\rm{m}$。由功的计算公式可知摩擦力做的热功 $Q=W=\mu (M+m)S=24\rm{J}$。