# 一道物理题 #2

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## 题面

如图，质量均为 $2m$ 的木板 A、B 并排静止在光滑的水平地面上，A 左端紧贴固定于水平地面上的半径为 $R$ 的 $\dfrac{1}{4}$ 圆弧底端，A 与 B、A 与圆弧底端均不粘连．质量为 $m$ 的小滑块 C 从圆弧顶端由静止滑下，经过圆弧底端后，沿 A 的上表面从左端水平滑上 A，并在恰好滑到 B 的右端时与 B 一起匀速运动．已知重力加速度为 $g$，C 过圆弧底端时对轨道的压力大小为 $1.5mg$，C 在 A、B 上滑行时受到的摩擦阻力相同，C 与 B 一起匀速运动的速度是 C 刚滑上A时的 $\dfrac{3}{10}$。求：


（1）C 从圆弧顶端滑到底到的过程中克服摩擦力做的功；
（2）两板长度 $L_1$ 与 $L_2$ 之比；

## 解析

(1)

设木块到达圆弧底端时速度为 $v_0$，摩擦力做功为 $W$。

由牛顿第二定律得 $\dfrac{{v_0}^2}R=0.5mg$

由动能定理得 $mgR-W=\dfrac12m{v_0}^2$

解得 $W=\dfrac43mgR$

(2)

设 C 离开 A 时 A、C 的速度分别为 $v_1,v_2$， C 与 B 一起匀速运动的速度为 $v_3$，C 与木板间摩擦力为 $f$。

由动量守恒定律得

$$
\begin{cases}
mv_0=mv_2+2mv_1+2mv_1\\
mv_2+2mv_1=mv_3+2mv_3
\end{cases}
$$

由功能关系得

$$
\begin{cases}
fL_1=-\left(\dfrac12m{v_2}^2-\dfrac12m{v_0}^2\right)-2m{v_1}^2\\
fL_2=-\left(\dfrac12m{v_3}^2-\dfrac12m{v_2}^2\right)-\left(m{v_3}^2-m{v_1}^2\right)
\end{cases}
$$

代入 $\dfrac{v_3}{v_0}=\dfrac{3}{10}$，解得 $\dfrac{L_1}{L_2}=\dfrac{14}{15}$。