# 多變數向量值函數的微分

## 課程影片
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## (粗淺的) 矩陣介紹
>~~齊神老師:~~
>>接下來我要講一個頭痛的題材，我頭痛，你們可能也會，不知道。
>>...
>>其實它也有更深層的含意，那個深層的含意...實在也很簡單，可是現在講會浪費很多時間。

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**Definition.** 一個 $m\times n$ 的實數矩陣$A$ 是一個映射 $\mathbb{N}_m\times\mathbb{N}_n\to\mathbb{R}, (i,j)\mapsto A_{i,j}$ ，記做
$$
A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{m,1} & \cdots & \cdots & A_{m,n}
\end{pmatrix}，$$
並且定義列向量 $A_{i, *}:=(A_{i, 1},\dots,A_{i_n})$ ， 行向量 $A_{*,j}$ 也同理。
我們將全體 $m\times n$ 的實數矩陣的的集合記做 $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$。
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首先定義實數矩陣的加法與純量積:

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**Definition.** 實數矩陣上的加法是一個映射 $[\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})]^2\xrightarrow{+}\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}), (A, B)\mapsto A+B$，
其中對所有 $i\in\mathbb{N}_m$ 及 $j\in\mathbb{N}_n$，$(A+B)_{i, j}:=A_{i, j}+B_{i, j}$。
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**Definition.** 實數矩陣的純量積是一個映射 $\mathbb{R}\times \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}), (c, A)\mapsto cA$，其中對所有 $i\in\mathbb{N}_m$ 及 $j\in\mathbb{N}_n$，$(cA)_{i, j}:=c\cdot A_{i, j}$。
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採用上述定義， 可以驗證 $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ 是一個 $\mathbb{R}$ 上的 vector space，並且與 $\mathbb{R}^{mn}$ 同構，因此可以仿造向量長度的定義，定義 $m\times n$ 矩陣的長度。

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**Definition.** 一個 $m\times n$ 的實數矩陣 $A$ 的 $d_2$ 範數定義為
$$\left\lVert A\right\rVert_{d_2}:=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n{a_{i,j}^2}}。$$
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**Definition.**
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**Proposition.**
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**Lemma.**
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**Corollary.**
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**Theorem.**
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**Proof.**
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