# 電子傳輸方程式

基本上，電子在晶體中的運動應由Schrodinger方程式描述

$$i \hbar{\partial{\psi(x,t)} \over \partial{t}}+{\hbar^2 \over 2m^* } \nabla_r^2 \psi(x,t)-{V(x,t)}{\psi(x,t)} =0\,$$

其中，$m^*$是等效電子質量，用於描述質量為$m$的電子在晶格勢能中的運動。$\psi(x,t)$為位置$x$與時間$t$的波函數，用於描述電子的狀態。$V(x,t)$是外界勢能，它包含了靜電勢能(來自移動的電子、電離雜質與外加電壓)以及導帶能量變化(異質接面處)。根據標準解釋，$|\psi(x,t)|^2$代表發現電子的機率，並且不能精確描述電子的位置或速度，因為當針對電子進行量測時，會導致波函數崩潰。

在半導體物理模擬中，更好的做法是對Schrodinger方程式做Wigner-Wely變換，以獲得與其完全等價的Wigner方程式。該方程式與經典統計力學有很強的相似性，從而建立了經典物理學和量子物理學之間的直接聯繫。在此假設電子之間沒有互相作用(單電子近似)，則Wigner方程式為

$${\partial{f_w} \over \partial{t}}+{\hbar k \over {m^*} } \nabla_r f_w-\int_{-\infty} ^{+\infty} V_w(x,k',t)f_w(x,k+k',t)dk' =0\,$$

其中，$x$代表所涉及電子的位置，$k$代表晶格動量(與電子動量有關)，${\hbar k / {m^*}=v_g(k) }$為電子的群速度，$f_w=f_w(x,k,t)$稱為Wigner函數，$V_w(x,k,t)$稱為Wigner勢能。

值得一提的是，電子的群速度更準確的定義為

$$v_g(k)={\nabla_k E(k)\over \hbar}$$

其中，$E(k)$為能帶色散關係，用於解釋晶格與載子之間的交互作用。當能帶色散關係滿足拋物線函數時，電子的群速度才可簡化成$v_g(k)={\hbar k / {m^*}}$。

## Wigner函數

$f_w(x,k,t)$稱為Wigner函數，它與波函數$\psi$完全等價

$$f_w(x,k,t)={1\over(\hbar \pi)^3} \int_{-\infty} ^{+\infty} \psi^{*}(x+x',t)\psi(x-x',t)e^{-{2i \over
\hbar}x' \cdot k }dx' \,$$

當它對動量$k$積分時，它給出在特定位置找到粒子的機率
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} f_w(x,k,t)dk=|\psi(x,t)|^2 $$

當它對位置$x$積分時，它給出在特定動量找到粒子的機率

$$\int_{-\infty} ^{+\infty} f_w(x,k,t)dx=|\int\psi(x,t)e^{-{i \over
\hbar}x \cdot k }dx|^2 $$

因此，$f_w(x,k,t)$又被稱為擬分布函數。

## Wigner勢能
$V_w(x,k,t)$稱為Wigner勢能，它代表電子與外界勢能$V(x,t)$的交互作用

$$V_w(x,k,t)=-{i \over {\pi^3 \hbar^4}}\int_{-\infty} ^{+\infty} [V(x+{x' \over2},t)-V(x-{x' \over2},t)]e^{-{i\over \hbar}x' \cdot k }dx'$$

如前所述，外界勢能$V(x,t)$包含了靜電勢能與導帶能量變化。假設靜電勢能在空間上的變化緩慢，不考慮異質接面，則Wigner勢能對電子群的作用力可以表示為

$$\int_{-\infty} ^{+\infty}V_{w}(x,k',t)f_w(x,k+k',t)dk'={1 \over \hbar} {\partial{V_w(x)} \over \partial{x}}{\partial{f_w(x,k,t)} \over \partial{k}}$$

其中，${\partial{V_w(x)} \over \partial{x}}$可代表電場作用在電子上的經典作用力，即

$$F_{cl}={\partial{V_w(x)} \over \partial{x}}=-qE$$

# Boltzmann方程式
代入前述的經典作用力$F_{cl}$，並加入Boltzmann散射項，則Wigner方程式可修正成Boltzmann (BTE)方程式，它又被稱為半經典傳輸方程式

$${\partial{f_w} \over \partial{t}}+v_g(k) \nabla_r f_w + {F_{cl} \over \hbar}\nabla_k f_w- \int_{BZ} [S(k,k')f_w(k')-S(k',k)f_w(k)]dk'=0\,$$

Boltzmann方程式描述如下:
1. 由於海森堡不確定性原理，當通道寬度接近載子的德布羅意波長、通道長度遠小於散射平均自由長度、電位在電子的熱平均波長尺度上急遽變化、或元件的工作頻率達到6THz，則不應該使用BTE方程式，而改用前述的量子力學方程式。
2. 第一項代表電子群隨時間改變其位置$x$與動量$k$的狀態分布。
3. 第二項代表在固定動量$k$下，電子群因為慣性移動而改變其位置$x$，注意電子群移動的速度為$v_g(k)={\hbar k \over m^*}$。
4. 第三項代表在固定位置$x$下，電子群因外加電場作用而改變其動量$k$，注意$F_{cl}=-qE$，在此不考慮磁場作用力。
5. 最後一項代表晶格缺陷、晶格振動(聲子)和載子間作用力對電子造成的散射現象，從而改變電子群的位置$x$與動量$k$。$S(k',k)$稱為散射率，它是由費米黃金定律給出的。

在實際的半導體材料中，存在多條能帶，對於某一個代號為$v$的能帶，它的Boltzmann方程式表示為

$${\partial{f_w^v} \over \partial{t}}+{v_g^v(k) } \nabla_r f_w^v + {F_{cl} \over \hbar}\nabla_k f_w^v-\sum_{v'}{ \int_{BZ} [S_{vv'}(k,k')f_w^v(k')-S_{v'v}(k',k)f_w^{v'}(k)]dk'}=0\,$$

此條方程式考慮了電子在不同能帶之間的散射$S_{v'v}$，因此，能考慮載子的生成-複合效應。

# 矩方程式

由於Boltzmann方程式高昂的計算成本，且對於多數情況不需要計算出如此多的物理細節，因此開發出了宏觀模型，以在合理精度範圍內描述電子傳輸的物理。

通過將擬分布函數$f_w$對動量$k$積分(求0階矩)，給出電子密度

$$n(x,t)=\int_{-\infty} ^{+\infty} f_w(x,k,t)dk $$

通過考慮電子群速度$v_g(k)$與電子帶電量$q$，將$f_w$對動量$k$積分(求1階矩)，給出電流密度

$$J_n(x,t)=-q\int_{-\infty} ^{+\infty} v_g(k)f_w(x,k,t)dk $$

通過考慮電子群的能量，即能帶的色散$E(k)$，將$f_w$對動量$k$積分(求2階矩)，給出能量密度

$$w(x,t)=\int_{-\infty} ^{+\infty} E(k)f_w(x,k,t)dk $$

透過將Boltzmann方程式對k求0階矩，可得到粒子數守恆的連續性方程式

$${\partial n \over \partial t}-{1 \over q}\nabla_rJ_n=R_{net}-G_{net}$$

其中，$R_{net}-G_{net}$是淨生成複合率，該項與散射項有關。

透過將Boltzmann方程式對k求1階矩，可得到動量守恆的平衡方程式

$${\partial J_n \over \partial t}-{qn \over m_n}\nabla_r \phi_n+ {J_n\over \tau_p}=0$$

其中，$\phi_n$是準費米能階；$\tau_p$是動量弛豫時間，與散射項有關。許多情況下，動量弛豫時間相當小，因此可以準靜態近似出電流密度

$$J_n={q \tau_p \over m_n} n \nabla_r \phi_n=\mu_n n \nabla_r \phi_n $$

其中，$\mu_n$是電子遷移率。

如果要考慮熱電子效應，則必須將Boltzmann方程式對k求2階矩，可得到能量守恆的平衡方程式。

# Poisson方程式

在討論完電子傳輸方程式之後，接著討論在半導體元件中的主要驅動力-電場$E$是如何計算的。通常，可以合理假設系統中存在的電磁場波長遠大於半導體元件的尺寸。例如，考慮頻率為1THz的電磁波，其波長為300um，該尺度遠大於半導體元件的尺度。因此，可以假設${\partial E \over \partial t} \cong 0$與${\partial B \over \partial t} \cong 0$，這一假設導致馬克斯威爾方程式中的電場$E$與磁場$B$的解耦

$$\nabla \cdot (\varepsilon E) = \rho$$

$$\nabla \cdot B =0$$

$$\nabla \times E = -{\partial B \over \partial t}=0$$

$$\nabla \times B = J+{\partial {(\varepsilon E)} \over \partial t}=J$$

電場$E$驅動半導體元件產生電流密度$J$，該電流引起了磁場$B$。為了進一步簡化，完全忽略磁場部分。電場部份給出

$$\nabla \times E =0$$

$$\nabla \cdot (\varepsilon_0E) = \rho$$

上述第一條允許定義電場與電位能之間的關係

$$E=-\nabla \varphi$$

帶入第二條，導致電位能與總電荷密度之間的關係

$$\nabla \cdot(\varepsilon \nabla \varphi)= -\rho$$

考慮電子密度$n$、電洞密度$p$、缺陷電荷密度 $\rho_{trap}$、總游離電荷量$N_D-N_A$，給出Poisson方程式

$$\nabla \cdot(\varepsilon \nabla \varphi)=-q(p-n+N_A-N_D)-\rho_{trap}$$

# 飄移-擴散模型

若僅考慮電子連續性方程式、電洞連續性方程式與Poisson方程式，會發現缺少兩條方程式使方程組完備，因此，額外加入兩條材料方程式，分別是外部電場導致載子的漂移運動，以及載子濃度梯度導致載子的擴散運動。以電子為例，漂移運動方程式為

$$J_{Drift}=qn {\mu_n}E=-qn{\mu_n}\nabla_r \varphi$$

擴散運動方程式為

$$J_{Diffusion}=qD_n {\nabla_r n}$$

在平衡條件下，遷移率$\mu_n$與擴散係數$D_n$透過Einstein關係相聯繫，這對非平衡情況也是一個良好近似

$$D_n={kT \over q} \mu_n=V_T \mu_n$$

總之，電流密度可以描述為

$$J_n=\mu_n n \nabla_r \phi_n=-qn {\mu_n}\nabla_r \varphi+qD_n {\nabla_r n} $$

此模型假設晶格溫度與載子溫度相等，且元件中的溫度梯度可忽略不計。這是經典的電子傳輸方程式。

須注意，此模型缺乏量子效應，諸如量子限制效應、穿隧效應等需額外加入量子修正模型來考量。此外，對於短通道、電場或電子密度變化極大的元件，應改用更進階的BTE或其他方式求解。