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# System prepended metadata

title: 常微分方程 final

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# 常微分方程 final
[常微分方程mid](https://hackmd.io/@ericycl1118/WCY1)
[toc]

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## Laplace Transform
### 積分轉換
- 拉普拉斯轉換：是一種 **把時間域（time domain）的函數轉換到複數頻率域（complex frequency domain）** 的數學工具。簡單說，它能把「微分方程」轉換成「代數方程」，讓分析系統（特別是電路、控制、訊號系統）變得更容易。
- 傅立葉轉換
### 分段連續函數
- 不連續點為有限個
- 不連續點處的左右極限均存在
### 指數階層函數
- $|f(t)|<Me^{at}$
### 拉普拉斯轉換
證明皆重要QQ
- ==$\mathcal L\{f(t)\}=F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st} dt$==
- 積分值收斂：$f(t)$ 為指數階層函數
- 線性運算、逆轉換
:::info
- $\mathcal L\{t^a\}=$||$\frac{a!}{s^{a+1}}$||
- $\mathcal L\{e^{at}\}=$||$\frac1{s-a} , s-a>0$||
- $\mathcal L\{\cos at\}=$||$\frac s{s^2+a^2}$||
- $\mathcal L\{\sin at\}=$||$\frac a{s^2+a^2}$||
:::
- Heaviside function : $u(t)=\begin{cases}
0, & t < 0 \\
1, & t \ge 0
\end{cases}$
  - $\mathcal L\{u(t)\}=\frac1s$
:::info
- 第一平移定理：$\mathcal L\{f(t)e^{at}\}=F(s-a)\;,\;s-a>0$
  - 時間平移
- 第二平移定理：$\mathcal L\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$
  - 頻率平移
  - 延伸：$\mathcal L\{f(t)u(t-a)\}=e^{-as}\mathcal L\{f(t+a)\}$
:::
:::info
- 尺度變換：$\mathcal L\{f(at)\}=\frac1aF(\frac sa)\;,\;a>0$
- 積分的 Laplace 轉換：$\mathcal L\{\int_0^t f(\tau)d\tau\}=\frac1sF(s)$
- Laplace 轉換的積分：$\mathcal L\{\frac{f(t)}t\}=\int_s^\infty F(u)du$
:::
- 方塊波函數 $P_\epsilon(t)=\begin{cases}1\;,&0<t<\epsilon\\0\;,&t\ge\epsilon\end{cases}=\frac1\epsilon[u(t)-u(t-1)]$
- 單位脈衝函數 $\delta(t)=\lim_{\epsilon\to0}P_\epsilon(t)=\begin{cases}0\;,&t\ne0^+\\\infty\;,&t=0^+\end{cases}$
  - $\int_0^\infty\delta(t)dt=1\quad$(面積)
  - $u'(t)=\delta(t)\quad$(斜率)
  - 若 $g(t)$ 為連續函數，則 $\int_0^\infty g(t)\delta(t)dt=g(0^+)\;,\;g(t)\delta(t)=g(0^+)\delta(t)$
  - $\mathcal L\{\delta(t)\}=1\;,\;\mathcal L\{\delta(t-a)\}=e^{-as}$
- 褶合積分 (卷積)：$f(t)*g(t)=\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau$
  - 褶合定理：$\mathcal L\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)$
- Laplace 逆轉換
  - 通分並帶入使分母為0之數
  - (多次)微分
  - 勇敢代入虛數
  - [邪修](https://hackmd.io/@ericycl1118/huh)
:::info
- 微分的 Laplace 轉換：$\mathcal L\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$
  - 通式：$\mathcal L\{f^{(n)}(t)\}=s^nF(s)-\sum_{i=1}^ns^{n-i}f^{(i-1)}(0)$
- Laplace 轉換的微分：$\mathcal L\{tf(t)\}=(-1)\frac d{ds}F(s)$
  - 通式：$\mathcal L\{t^nf(t)\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}F(s)$
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- 解ODE系統
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## 級數求解
[DYY微積分二 final](https://hackmd.io/@ericycl1118/DYY2)