# DYY微積分二 final
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## 無窮級數 infinite series
### 無窮級數
- infinite series / partial sum sequence
- 「無窮級數」收斂 $\Leftrightarrow$「部分和數列」有極限值
- $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 收斂 $\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ (||反之不成立，如:調和級數||)
- 無窮級數只有 sum rule / constant multiple
- ==等比級數== (geometric series)：$S_n=\frac{首項(1-r^{項數})}{1-r}$
:::spoiler 練習題
- $\sum_{n=1}^\infty\frac3{(n+2)(n+3)}=1$ (提示：||分項相消||)
- $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{n+1}+(-3)^n}{5^{n+2}}=\frac{23}{600}$ (提示：||sum rule||)
- $\sum_{n=2}^\infty\ln\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}=-\ln2$
(提示：||這叫望遠鏡級數，可拆成 $\ln(n-1)+\ln(n+1) -2\ln n$ 再相消||)
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### 積分判別法 Integral Test
若 $f(x)$ 在 $[1,\infty)$ 為正、遞減、連續，則：
- $\sum _{n=1} ^{\infty} f(n)$ 收斂 $\Leftrightarrow$ $\int_1^\infty f(x)\,dx$ 收斂
:::info
若積分比級數好求，則選擇用積分來判斷。
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:::warning
應用：P級數 (P-series) $\sum _{n=1} ^{\infty} \frac1{n^p}$之斂散條件
- $p>1$：收斂
- $p \le 1$：發散
- 超重要，||因為能直接用肉眼看出一堆題目的答案||
- $\lim_{k \to \infty} \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \cdot \prod_{i=1}^k \ln^{[i]}(n)} = \infty$
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### 比較判別法 Comparison Test
若 $a(n)\ge0\,,\,b(n)\ge0$ ，且 $\sum_{n=0}^\infty a(n) \le \sum_{n=0}^\infty b(n)$，則：
+ $\sum _{n=0} ^{\infty} b(n)$ 收斂 $\Rightarrow\sum _{n=0} ^{\infty} a(n)$ 收斂
+ $\sum _{n=0} ^{\infty} a(n)$ 發散 $\Rightarrow\sum _{n=0} ^{\infty} b(n)$ 發散
:::info
若難以直接看出級數的斂散性，便可先找出已知的類似級數，透過比大小(成長速度快慢)的方式，來間接看出所求級數的斂散性。
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:::danger
常見函數成長速度：$x^x>x!>a^x>x^a>\log_ax$
(多重指數>階乘>指數>多項式>對數)
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### 極限判別法 Limit Comparison Test
若 $a(n)>0\,,\,b(n)>0\,,\,\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$，則
- $L=0$：$\sum _{n=0} ^{\infty} a(n)$ 收斂 $\Leftarrow\sum _{n=0} ^{\infty} b(n)$ 收斂
- $L>0$：$\sum _{n=0} ^{\infty} a(n)$ 收斂 $\Leftrightarrow\sum _{n=0} ^{\infty} b(n)$ 收斂
- $L=\infty$：$\sum _{n=0} ^{\infty} a(n)$ 收斂 $\Rightarrow\sum _{n=0} ^{\infty} b(n)$ 收斂
- *這極限看起來就一副很適合羅必達的樣子*
:::info
概念有點類似比較判別法，透過極限來比較分母跟分子的大小。
但在 $L>0\,,\,L\in\mathbb R$ 時，由於邏輯上的雙向關係，可以更容易的判斷所求級數的斂散性。
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### 根值判別法 Root Test
若 $a(n)\ge0\,,\,\lim_{n\to\infty}a_n^\frac1n=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho\in\mathbb R$，則
- $\rho<1$：$\sum _{n=0} ^{\infty}a(n)$ 收斂
- $\rho=1$：未知
- $\rho>1$：$\sum _{n=0} ^{\infty}a(n)$ 發散
### 比值判別法 Ratio Test
若 $a(n)>0\,,\,\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho\in\mathbb R$，則
- $\rho<1$：$\sum _{n=0} ^{\infty}a(n)$ 收斂
- $\rho=1$：未知
- $\rho>1$：$\sum _{n=0} ^{\infty}a(n)$ 發散
:::info
上面兩種方法的應用場合相似，但比值判別法通常較簡單。
- $\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n\cdot n!}{n^n}=$ ||發散||
提示：$\lim_{n\to\infty}(1+\frac xn)^n=e^x$
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### 絕對 / 條件收斂 converge absolutely / conditionally
- 若 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 發散 $\Rightarrow\sum_{n=0}^\infty|a_n|$ 發散 (因為更大了)
- 若 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 收斂，則有兩種情形：
- $\sum_{n=0}^\infty|a_n|$ 收斂，則 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 為「絕對收斂」
- $\sum_{n=0}^\infty|a_n|$ 發散，則 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 為「條件收斂」
- ~~這篇筆記最上面的梗圖就在描述這件事~~
- 交錯級數：$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\;,\;a_n>0$
### 交錯級數判別法 Alternating Series Test / Leibniz Test
若 $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ 為==遞減數列，$a_n>0$==，則：
- $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$ 收斂 $\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=0$
> 比較：$\sum _{n=0} ^{\infty} a_n$ 收斂 $\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0$

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### 泰勒展開式 Taylor series
泰勒展開就是用多項式去逼近一個函數。
- 若 $f(x)$ 在開區間 $I$ 內有n+1階連續導數，$a\in I$，則 $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ ，其中：
- 泰勒多項式polynomial：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
- 誤差項remainder：$R_n(x)=\frac1{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x - t)^n \, dt$
- 若 $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$，則 $\lim_{n\to\infty}P_n(x)=f(x)$。這就是 ==泰勒展開式==：$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
- 拉格朗日餘項估計：
$|R_n(x)| \leq \max_{t \in J} |f^{(n+1)}(t)|\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\;,J=[a,x]\,or\,[x,a]$

其餘小知識：
- 若展開點 $a=0$，則稱為 馬克勞林展開（Maclaurin Series）
- 展開後的泰勒級數，不一定會在所有 $x$ 收斂，要看收斂半徑（radius of convergence）
:::info
練習：將以下函數在 $x=0$ 處做泰勒展開。
1. $e^x=$ ||$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$||，收斂區間：$x \in (-\infty, \infty)$
2. $\cos x=$ ||$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$||，收斂區間：$x\in(-\infty,\infty)$
3. $\sin x=$ ||$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$||，收斂區間：$x\in(-\infty,\infty)$
4. $\tan^{-1}x=$ ||$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$||，收斂區間：$x\in(-1,1]$
5. $\ln(1-x)=$ ||$-\sum_{n=1}^\infty \frac1nx^n$||，收斂區間：$x \in [-1, 1)$
6. $\frac1{1-x}=$ ||$\sum_{n=0}^\infty x^n$||
7. $\frac1{(1-x)^2}=$ ||$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$||
8. $\frac x{(1-x)^2}=$ ||$\sum_{n=1}^\infty nx^n$||
9. $\frac{1}{(1 - x)^n}=\sum_{k=0}^\infty \binom{n+k-1}{k} x^k$，收斂區間：$x \in (-1, 1)$
10. $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k$，收斂區間：$x \in (-1, 1)$
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| $\displaystyle\binom nk$ | 意義 | 計算方式 |
| :---: | :---: | :---: |
| $n \in \mathbb{N}$，$n \ge k$ | 組合數 | $C^n_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| $n \in \mathbb{R}$ | 廣義係數 | $\frac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1}(n-i)$ |

| $(1+x)^n$ | 適用範圍 | 展開式 |
| :--- | :--- | :--- |
| $n \in \mathbb N$ | 二項式定理：$x \in \mathbb R$ | $\sum_{k=0}^n C^n_k x^k\;\;$ |
| $n \in \mathbb{R}$ | 收斂區間：$x\in (-1,1)$ | $\sum_{k=0}^\infty \binom nk x^k$ |

### 冪級數 Power series
- 冪級數：$\sum _{n=0} ^{\infty} a_n x^n$
- 若他在 $x=c\ne0$ 時收斂，則在 $|x|<|c|$ 時都絕對收斂
- 若他在 $x=d\ne0$ 時發散，則在 $|x|>|d|$ 時都發散
- 收斂半徑：$\sum _{n=0} ^{\infty} a_n x^n$ 只有以下三種收斂情況。 [證明過程](https://www.bilibili.com/video/BV1uz4y1Q7Zi/?p=16)
- 只在 $x=0$ 時收斂：收斂半徑 $=0$
- $|x|<r$ 時絕對收斂，且 $|x|>r$ 時發散：收斂半徑 $=r$
- 在 $x\in\mathbb R$ 時絕對收斂：收斂半徑 $=\infty$
- root test / ratio test 可用來求收斂半徑
- 無法直接求出收斂區間，因為邊界點需另外判斷

:::spoiler Dirichlet 判別法 (我也不知道這是啥)

若滿足以下三個條件，則 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ 收斂：
1. 部分和有界：
$A_n = \sum_{k=1}^n a_k \; \text{的部分和 } A_n \text{ 是有界的}$
也就是說，$|A_n|\leq M$ 對所有 $n$ 成立。
2. $b_n$ 單調遞減或遞增（具有單調性）
3. $b_n \to 0$，也就是 $b_n$ 收斂到 0

舉例：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n}$
* $a_n = \sin(n)$，其部分和是**有界**（因為 $\sin(n)$ 是 bounded 且震盪的）
* $b_n = \frac{1}{n}$，是單調遞減且趨近於0

所以根據 Dirichlet 判別法，這個級數**收斂**。
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## 多變數函數 several variables functions
### 偏導數 partial derivative
$f:D\rightarrow \mathbb R\,,D\subseteq \mathbb R^2.$ 則在 $(x_0,y_0)\,點對\,x\,跟\,y$ 的==偏導數==：
- $f_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h$
- $f_y(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}h$
### 極限 limit
$f:D\rightarrow \mathbb R\,,D\subseteq \mathbb R^n,n\in \mathbb N.$
- $\forall\epsilon>0\,,\exists \delta > 0 \text{ s.t. if }||\vec x-\vec{x_0}||<\delta \text{, then }|f(\vec x)-L|<\epsilon$ .
- $\text{That is, }\lim_{\vec x\to\vec{x_0}}f(\vec x)=L\in \mathbb R$ .
### 連續 continuity
- If $\lim_{\vec x\to\vec{x_0}}f(\vec x)=f(\vec{x_0})$ , then f is continuous at $\vec{x_0}$ .
### 混合偏導數 mixed partial derivative
- $f_{xx}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\,,\,f_{yy}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$
- $f_{xy}=(f_x)_y=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\,,\,f_{yx}=(f_y)_x=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$
:::info
Clairaut's Theorem :
- 若 $f,\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ 皆存在且==連續==，則$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$
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## 多變數微分 differentiations of several variables
### 梯度 gradient
$f:D\rightarrow \mathbb R\,,D\subseteq \mathbb R^n\,,n\in \mathbb N$。 若 $f\,在\,\vec x$ ==可微分==，則：
- $\exists\nabla f(\vec x)\in \mathbb R^n$ s.t. $f(\vec x+\vec h)-f(\vec x)=\nabla f(\vec x)\cdot\vec h+g(\vec h)$
- $\nabla f(\vec x)\cdot\vec h$ 是向量的內積
- $g(\vec h)$ 是誤差項，$\lim_{h\to0} \frac{g(\vec h)}{||\vec h||}=0$
- $\nabla f(\vec x)$ 即為 $f\,在\,\vec x$ 的==梯度==，具有唯一性
- 梯度是偏導數的==向量==組合，表示函數在空間中變化最快的方向
$\nabla f(\vec{x_0}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{x_0}), \frac{\partial f}{\partial x_2}(\vec{x_0}), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec{x_0}) \right)$
> 梯度有 sum rule / constant multiple / product rule
### 微分與偏導數的關係
- 若 $f$ 在 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的一階偏導數都==連續== $\Rightarrow f$ 在 $D$ 處處可微分
- 若 $f$ 在 $\vec{x_0}$ 可微分 $\Rightarrow f$ 在 $\vec{x_0}$ 的一階偏導數都==存在==
> - 以上關係的反向皆不成立。
> - 比較：$f\,在\,\vec {x_0}\,可微分\Rightarrow f\,在\,\vec {x_0}\,連續$
### 方向導數 directional derivatives
For each unit vector $\hat u\in\mathbb R^n$ and $\vec x\in D\subseteq\mathbb R^n,n\in\mathbb N$ :
- $f'_{\hat u}(\vec x)=\lim_{h\to0}\frac{f(\vec x+h\hat u)-f(\vec x)}h,h\in\mathbb R$
- 這是函數 $f$ 在點 $\vec{x}$ 沿著單位向量 $\hat{u}$ 的方向導數
- $f'_{\hat i}(\vec x)=\frac{\partial f}{\partial x}(\vec x) \,,\, f'_{\hat j}(\vec x)=\frac{\partial f}{\partial y}(\vec x)\,,$ ...

若 $f$ 在 $\vec x$ 可微，則 $f'_{\hat u}(\vec x)=D_{\hat u}f(\vec x)=\nabla f(\vec x)\cdot\hat u$

### 鏈鎖律 chain rule
- 若 $z = f(x, y)$，而 $x = x(t), y = y(t)$
- 那麼：$\dfrac{dz}{dt} = \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$
> 如果：
> * $z = f(x_1, x_2, ..., x_n)$
> * 每個 $x_i = x_i(t_1, t_2, ..., t_m)$
>
> 那麼：
$$
\frac{\partial z}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial x_i}{\partial t_j}
$$
### 局部極值 local extreme values
- 開球 open ball
- 內部點 interior point
- 局部極值點 local extreme point
- 臨界點 critical point：梯度=0或不存在
- 靜止點 stationary point：梯度=0
- 鞍點 saddle point：非局部極值的靜止點

### 二變數函數的二階導數判別法
若 $f$ 有連續的二階偏導數，$\nabla f(x_0,y_0)=0$，則
- $f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}<0\Rightarrow$ 鞍點
- $f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}>0$：
- $f_{xx}<0\Rightarrow$ 局部極大值
- $f_{xx}>0\Rightarrow$ 局部極小值
- $f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}=0$：無法判斷

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## 多重積分 multiple integrals
### 雙重積分 double integrals
$V=\iint_\Omega f(x,y)\,dx\,dy$
### 雅可比行列式 Jacobian determinants
設有一個變數轉換函數：$x = x(u,v)\,,\, y = y(u,v)$
那麼 Jacobian determinant 可以看成一種「面積縮放因子」：
$$
J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}
= \frac{\partial x}{\partial u} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}
$$

使用情境：變數變換積分（改變積分變數）
在二重積分中，若你改變積分變數，就會使用到：
$$
\iint_\Omega f(x, y) \, dx\,dy = \iint_\Omega f(x(u,v), y(u,v))\,|J|\,du\,dv
$$

### 極座標 polar coordinates
+ $x = r \cos\theta\;,\;y = r \sin\theta$
- $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta$
- $\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin\theta$
- $\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta$
- $\frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos\theta$
- Jacobian 矩陣為：$J =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -r \sin\theta \\
\sin\theta & r \cos\theta
\end{bmatrix}\;,\;\det(J) =r$
- $\iint_\Omega f(x, y) \, dx \, dy = \iint_\Omega f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta$

### 球座標 spherical coordinates
- $\begin{cases}
x = (\rho \sin\phi) \cos\theta \\
y = (\rho \sin\phi) \sin\theta \\
z = \rho \cos\phi
\end{cases}$
- Jacobian 行列式：
\begin{align}
J&=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \phi, \theta)} =
\begin{vmatrix}
\sin\phi \cos\theta & \rho \cos\phi \cos\theta & -\rho \sin\phi \sin\theta \\
\sin\phi \sin\theta & \rho \cos\phi \sin\theta & \rho \sin\phi \cos\theta \\
\cos\phi & -\rho \sin\phi & 0
\end{vmatrix} \\
&= \rho^2 \sin \phi
\end{align}
- $\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dx\,dy\,dz = \iiint_\Omega f(\rho, \phi, \theta)\, \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta$

### 柱座標 cylindrical coordinates

- $\begin{cases}
x = r \cos \theta \\
y = r \sin \theta \\
z = z
\end{cases}$
- Jacobian 行列式：$J = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\begin{vmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & r \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}=r$
- $\iiint_\Omega f(x,y,z)\, dx\,dy\,dz = \iiint_\Omega f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)\, r\,dr\,d\theta\,dz$