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# System prepended metadata

title: DYY微積分二 mid

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# DYY微積分二 mid
![連鎖律](https://hackmd.io/_uploads/Sywvc--blx.png =400x)
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## 超越函數 transcendental function

### 反函數 inverse function
- 1-1: $\text{if } f(x_1)=f(x_2) \text{ then }x_1=x_2$ for any $x_1,x_2 \in A$
- onto: $\text{if } \forall y\in B, \exists x \in A \text{ such that } f(x)=y$
- 反函數：1-1 and onto
- 反函數微分：==$\frac{d}{dx}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}$==
### 對數函數 natural logarithm function
- $\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}dt$
- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$，==$\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$==
:::info
- $\int \tan x \,dx=$ ||$-\ln |\cos x|+C$||
- $\int \cot x \,dx=$ ||$\ln |\sin x|+C$||
- $\int \sec x \,dx=$ ||$\ln |\sec x+\tan x|+C$||
- $\int \csc x \,dx=$ ||$-\ln |\csc x+\cot x|+C$||
+ $\int \sin x\,dx=$ ||$-\cos x+C$||
+ $\int \cos x\,dx=$ ||$\sin x+C$||
:::
### 指數函數 natural exponential function
- 為lnx的反函數
- $(e^x)'=e^x$，$\int e^xdx=e^x+C$
- 常見轉換：==$a^b=e^{b\ln a}$==
### 反三角函數(的微分) inverse trigonometric function
- $(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^2}$
- $(\sec^{-1}x)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
:::info
- $(\sin^{-1}\frac{x}{a})'=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$
- $(\tan^{-1}\frac{x}{a})'=\frac{a}{a^2+x^2}$
- $(\sec^{-1}\frac{x}{a})'=\frac{a}{|x|\sqrt{x^2-a^2}}$
:::

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## 積分技巧

### 基本代換法 u-substitution 
- 配合鏈鎖律 chain rule
### 分部積分法 integration by part
- ==$\int u\,dv=uv-\int v\,du$==
:::info
  - $\int \ln x\,dx=$ ||$x\ln x-x+C$||
  - $\int e^x\sin x\,dx=$ ||$\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)$||
  - $\int \sin^{-1}x\,dx=$ ||$x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}+C$||
  - $\int \tan^{-1}x\,dx=$ ||$x\tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln{(1+x^2)}+C$||
:::
### 三角恆等式 trigonometric identities
  - 倒數、商數、平方和 ||還有餘角(但這裡沒用)||
  - 兩倍角公式(半角公式)、三倍角公式
  - 和差角公式 ||(幾乎沒在用)||
  - [~~和差化積、積化和差~~](https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=5022505)
:::success 惡魔練習題
惡魔練習題 (以下答案皆省略常數 $C$；有些題目有多種解法)
1. $\int \sin^4x\,dx=$ ||$\frac{\sin 4x}{32}- \frac{\sin 2x}{4}+\frac{3x}{8}$|| (偶數次方：2倍角)
2. $\int \cos^5x\,dx=$ ||$\frac{\sin^5x}5-\frac{2\sin^3x}3+\sin x$|| (奇數次方：u代換)
3. $\int \sin^2x\cos^2x\,dx=$ ||$\frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32}$||
4. $\int \sin^2x\cos^3x\,dx=$ ||$\frac{\sin^3x}3-\frac{\sin^5x}5$||
5. $\int \sin^2x\cos^4x\,dx=$ ||$\frac x{16}-\frac{\sin4x}{64}+\frac{\sin^32x}{48}$|| (很多2倍角)
11. $\int \tan^2x\,dx=$ ||$\tan x-x$|| (平方和)
12. $\int \tan^3x\,dx=$ ||$\frac{\tan^2x}2 +\ln|\cos x|$||
13. $\int \tan^4x\,dx=$ ||$\frac{\tan^3x}3 - \tan x +x$||
14. $\int \sec^4x\,dx=$ ||$\frac{\tan^3x}3 + \tan x$||
15. ==$\int \sec^3x\,dx$== $=$||$\frac12\sec x \tan x+\frac12\ln|\sec x+\tan x|$|| 
  (分部積分+平方和)
16. $\int \tan^2x\sec^4x\,dx=$ ||$\frac{\tan^5x}5+\frac{\tan^3x}3$|| (sec為偶數次方)
17. $\int \tan^3x\sec^3x\,dx=$ ||$\frac{\sec^5x}5-\frac{\sec^3x}3$|| (tan為奇數次方)
18. ==$\int \tan^2x\sec x\,dx$== $=$||$\frac12 \sec x\tan x-\frac12\ln|\sec x+\tan x|$|| 
  (平方和+前面的題目)
21. $\int \sin3x\sin5x\,dx=$ ||$\frac{\sin2x}4 +\frac{\sin8x}{16}$|| (積化和差)
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### 三角代換法 trigonometric substitution
  - $\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow 設\,x=a\sin\theta$
  - $\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow 設\,x=a\tan\theta$
  - $\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow 設\,x=a\sec\theta$
:::spoiler 記憶方式
![image alt](https://hackmd.io/_uploads/ByAxMMPzee.png "title" =200x150)
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:::info
分部積分+三角代換+平方和
- $\int \sec^{-1}x\,dx=$ ||$x \sec^{-1}x - \ln\left|x + \sqrt{x^2 - 1}\right| + C$||
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### 部分分式分解法 partial fraction decomposition
:::spoiler　概念簡介 (byGPT)
假設你有一個有理式：$\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中P(x)和Q(x)都是多項式，且Q(x)的次數大於P(x)的次數。
目標是將這個式子分解為幾個較簡單的分式的和。這樣的分解通常會基於Q(x)的因式分解來進行。
1. **確保分子次數小於分母次數**：
   如果P(x)的次數不小於Q(x)的次數，需要先進行多項式除法，然後再對餘數進行部分分式分解：$\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{商} + \frac{\text{餘數}}{Q(x)}$
2. **分母的因式分解**：
   將Q(x)分解成不可約的因式。
3. **部分分式分解**：
   - 如果Q(x)有一次因式$(x-a)$，則分式的形式是$\frac{A}{x-a}$，其中A是常數，需通過代入法或比較系數法求解。
   - 如果Q(x)包含重複一次因式$(x-a)^n$，則要寫成$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x-a)^n}$，並對每項做處理。
   - 如果Q(x)包含二次不可約因式$(x^2+bx+c)$，則寫成$\frac{Ax + B}{x^2 + bx + c}$，並求出A和B。
4. **合併分式**：將這些部分分式加起來，得到原來的有理式。
5. **求解未知係數**
   - **代入法 Substitution Method**：將某些特定的x值代入等式，解出未知數。
   - **比較係數法 Method of Comparing Coefficients**：通分後將分子展開，因為同次項的係數相等，可得到一組線性方程式，並解出未知數。
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- [進階速解技巧](https://hackmd.io/@ericycl1118/huh)
:::info
含各類型分式積分的練習題：$\int \frac{x^5+3x^3+3x^2+18}{(x-1)^2(x^2+4)^2}\,dx$  

$=$ ||$\int(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x^2+4}-\frac{2}{(x^2+4)^2})\,dx$||  

$=$ ||$-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\ln(x^2+4)  + \frac{3}{8}\tan^{-1}\frac{x}{2} - \frac{x}{4(x^2+4)} + C$||
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## 數列 sequence
### 完備公理
- 上方有界$\Rightarrow$有最小上界；下方有界$\Rightarrow$有最大下界
- (非嚴格)遞增數列若有最小上界，則極限存在(收斂)
- (非嚴格)遞減數列若有最大下界，則極限存在(收斂)
### 數列極限
- 必收斂於上界或下界
- 五個rule、夾擠定理
- 數列的函數值的極限=數列的極限的函數值
If $\lim_{n\to\infty}c_n=c$ , then $\lim_{n\to\infty}f(c_n)=f(c)$.
### 不定型、羅必達法則
- $\frac00$、$\frac{\infty}{\infty}$：直接使用羅必達法則
- $\infty-\infty$、$0\cdot\infty$、$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$：須先加以轉換
- 其餘：非不定型 ||(用肉眼看出答案)||

### 瑕積分
- $\int_1^\infty\frac1{x^p}dx\,,\,p>0$
  + $p>1$：收斂
  + $p \le 1$：發散
- 比較判別法 comparison test：令 $0 \le f(x) \le g(x)$
  + $\int_a^\infty g(x)dx$ 收斂 $\Rightarrow\int_a^\infty f(x)dx$ 收斂
  + $\int_a^\infty f(x)dx$ 發散 $\Rightarrow\int_a^\infty g(x)dx$ 發散

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[DYY微積分二 final](https://hackmd.io/@ericycl1118/DYY2)
>[name=frog]